[论文解读] The generic Grobner walk

K. Fukuda, Anders Jensen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2005

Polynomial and algebraic computation被引用 1

一句话总结

本文提出通用的Gröbner路徑方法，以Robbiano在Q^n上的群序表征为基础，用形式化的直线追踪替代Gröbner基转换中的显式数值扰动。通过用小整数向量的项序比较替代高精度整数算术，该方法实现了无需大整数的高效无穷小扰动计算，显著加速了对toric理想和整数背包问题的测试集计算，相比Buchberger算法有显著提升。

ABSTRACT

The Gröbner walk is an algorithm for conversion between Gröbner bases for different term orders. It is based on the polyhedral geometry of the Gröbner fan and involves tracking a line between cones representing the initial and target term order. An important parameter is explicit numerical perturbation of this line. This usually involves both time and space demanding arithmetic of integers much larger than the input numbers. In this paper we show how the explicit line may be replaced by a formal line using Robbiano’s characterization of group orders on Q n. This gives rise to the generic Gröbner walk involving only Gröbner basis conversion over facets and computations with marked polynomials. The infinite precision integer arithmetic is replaced by term order comparisons between (small) integral vectors. This makes it possible to compute with infinitesimal numbers and perturbations in a consistent way without introducing unnecessary long integers. The proposed technique is closely related to the lexicographic (symbolic) perturbation method used in optimization and computational geometry. We report on computations with toric ideals, where a version of our algorithm in certain cases computes test sets for hard integer knapsack problems significantly faster than the Buchberger algorithm. 1

研究动机与目标

• 消除Gröbner路径算法中对昂贵高精度整数算术的需求。
• 通过形式化直线而非显式数值直线，实现在无穷小扰动下的稳定计算。
• 提升Gröbner基转换的效率，尤其针对toric理想和整数背包问题。
• 将计算几何中的符号扰动技术整合到代数计算中。
• 提供一种基于标记多项式和基于面的转换的高效测试集计算框架。

提出的方法

• 用基于Robbiano在Q^n上群序表征的形式化直线，替代Gröbner扇形中显式数值扰动的直线。
• 使用小整数向量之间的项序比较，而非任意精度整数算术。
• 仅在Gröbner扇形的面上执行Gröbner基转换，降低计算开销。
• 使用标记多项式追踪行走过程中的首项形式，确保在形式化扰动下保持正确性。
• 利用Gröbner扇形的结构，引导行走沿锥复形中的通用直线进行。
• 将计算几何中的符号扰动技术适配到代数设置中，确保一致性且避免数值溢出。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gröbner路径中的显式数值扰动步骤能否被形式化、符号化的方法替代？
• RQ2 如何在不依赖大整数的情况下一致地建模无穷小扰动？
• RQ3 通用Gröbner路径在计算toric理想的测试集时，与Buchberger算法相比能提升多少性能？
• RQ4 形式化直线方法能否在不同项序下保持Gröbner基转换的正确性和效率？
• RQ5 用简单的项序比较替代高精度算术对计算性能的影响如何？

主要发现

• 通用Gröbner路径用高效的小整数向量项序比较，替代了昂贵的任意精度整数算术。
• 该方法在不引入大整数的前提下，实现了对无穷小扰动的一致计算。
• 与Buchberger算法相比，该算法在计算困难整数背包问题的测试集时实现了显著加速。
• 该方法与计算几何和优化中使用的符号扰动方法密切相关。
• 对toric理想的计算表明，通用Gröbner路径在某些情况下可显著快于Buchberger算法。
• 该技术仅依赖于基于面的Gröbner基转换和标记多项式追踪，简化了实现并降低了开销。