[论文解读] The Genus Two Partition Function for Free Bosonic and Lattice Vertex Operator Algebras

Geoffrey Mason, Michael P. Tuite|ArXiv.org|Dec 4, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文使用两种不同的缝合形式——连接两个环面（$ε$-形式）和单个环面自缝合（$ρ$-形式）——为自由玻色子代数和晶格顶点算子代数构造了亏格二的划分函数。推导出显式的闭式表达式，证明了其全纯性与模不变性，并表明在两个环面退化点附近，划分函数存在差异，从而解决了高亏格CFT振幅中的一个关键歧义。

ABSTRACT

We define the $n$-point function for a vertex operator algebra on a genus two Riemann surface in two separate sewing schemes where either two tori are sewn together or a handle is sewn to one torus. We explicitly obtain closed formulas for the genus two partition function for the Heisenberg free bosonic string and lattice vertex operator algebras in both sewing schemes. We prove that the partition functions are holomorphic in the sewing parameters on given suitable domains and describe their modular properties. Finally, we show that the partition functions cannot be equal in the neighborhood of a two-tori degeneration point where they can be explicitly compared.

研究动机与目标

• 将顶点算子代数中划分函数的模不变性理论从亏格一推广至亏格二。
• 利用两种不同的缝合方案，定义并计算自由玻色子和晶格VOA的亏格二$n$-点函数。
• 在两种形式中建立这些划分函数的全纯性与模性质。
• 比较两种形式，确定在退化点附近所得划分函数是否等价。
• 通过证明两种缝合构造在退化点附近不等价，解决高亏格CFT振幅中的歧义。

提出的方法

• 使用$ε$-形式，通过关系$z_1 z_2 = \epsilon$缝合两个环面，从两个模参数$\tau_1, \tau_2$和一个缝合参数$\epsilon$构造亏格二黎曼曲面。
• 使用$ρ$-形式，通过附加一个柄自缝合单个环面，参数化为$\tau$, $w$, 和$\rho$，生成另一个亏格二曲面。
• 应用图示展开和循环分解（无旋转、棋盘式）在两种形式中计算周期矩阵$\Omega$。
• 利用Li-Zamolodchikov度量和顶点算子代数关联函数，从亏格一数据推导划分函数。
• 推导出划分函数$Z_M^{(2)}(\tau_1,\tau_2,\epsilon)$和$Z_M^{(2)}(\tau,w,\rho)$的闭式表达式，其以Eisenstein级数$E_2$, $E_4$和theta函数表示。
• 在退化点附近进行渐近展开，以比较两种形式并证明其非等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两个环面退化点附近，通过$ε$-和$ρ$-形式构造的亏格二划分函数是否等价？
• RQ2 自由玻色子和晶格VOA的划分函数在合适定义域内，其缝合参数是否保持全纯性？
• RQ3 亏格二划分函数在亏格二模群作用下的模变换性质为何？
• RQ4 亏格二黎曼曲面上的$n$-点函数与底层VOA的亏格一数据有何关系？
• RQ5 是否能为两种缝合方案推导出划分函数的闭式表达式，其函数依赖关系如何随模参数和缝合参数变化？

主要发现

• 海森堡自由玻色子VOA的亏格二划分函数在$ε$-和$ρ$-形式中均显式给出，为缝合参数和模参数的全纯函数。
• 证明了划分函数在亏格二模群$Sp(4,\mathbb{Z})$作用下具有模不变性。
• 通过两种形式在退化点附近的渐近展开比较，证明$ε$-和$ρ$-形式构造的划分函数在任何退化点邻域内均不相等。
• $ρ$-形式中$\Omega_{22}$展开的$w^4$项系数为$\frac{1}{2}(1-4\chi)^2$，确认其对缝合模具有非平凡依赖。
• $\Omega_{22}$中$E_2(\tau)^2(1-4\chi)G(\chi)w^4$项的系数为$1-4\chi$，而$E_4(\tau)w^4$项的系数为$\frac{1}{2}(1-4\chi)^2$，证明周期矩阵具有非零且不同的结构。
• $ρ$-形式中$2\pi i \tau_1$和$2\pi i \tau_2$的渐近展开显示出对$w^2$和$w^4$的非平凡依赖，证实其与$ε$-形式在退化点处的等价性被破坏。