[论文解读] The geodesic X-ray transform with matrix weights

Gabriel P. Paternain, Mikko Salo+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 33被引用 22

一句话总结

该论文证明了在具有严格凸边界和严格凸膨胀函数的三维及以上紧致黎曼流形上，对函数和一形式，具有矩阵权的测地线X射线变换的单射性。通过在严格凸边界点附近的局部反演及逐层剥离论证，证明了连接与希格斯场可由散射数据唯一确定（模规范等价），并将结果推广至非负曲率流形，解决了量子态与极化正向断层扫描中的反问题。

ABSTRACT

Abstract: Consider a compact Riemannian manifold of dimension $\geq 3$ with strictly convex boundary, such that the manifold admits a strictly convex function. We show that the attenuated ray transform in the presence of an arbitrary connection and Higgs field is injective modulo the natural obstruction for functions and one-forms. We also show that the connection and the Higgs field are uniquely determined by the scattering relation modulo gauge transformations. The proofs involve a reduction to a local result showing that the geodesic X-ray transform with a matrix weight can be inverted locally near a point of strict convexity at the boundary, and a detailed analysis of layer stripping arguments based on strictly convex exhaustion functions. As a somewhat striking corollary, we show that these integral geometry problems can be solved on strictly convex manifolds of dimension $\geq 3$ having non-negative sectional curvature (similar results were known earlier in negative sectional curvature). We also apply our methods to solve some inverse problems in quantum state tomography and polarization tomography.

研究动机与目标

• 在维度≥3的紧致黎曼流形上，建立函数和一形式的加权衰减射线变换的单射性。
• 证明GL(N,C)-连接与希格斯场的散射数据可唯一确定该对（模规范变换）。
• 将先前在X射线变换反问题上的结果推广至具有非负截面曲率（包括存在共轭点）的流形。
• 将结果应用于解决量子态断层扫描与极化断层扫描中的反问题。
• 在严格凸边界点附近发展一种局部反演方法，以通过逐层剥离实现全局重建。

提出的方法

• 论文引入一种伪线性化技术，将恢复连接与希格斯场的非线性反问题转化为线性问题。
• 利用定义函数˜x和微局部分析，在严格凸边界点附近建立了加权测地线X射线变换的局部可逆性。
• 采用逐层剥离论证，依赖于光滑严格凸膨胀函数的存在，从边界数据迭代重建连接与希格斯场。
• 将加权X射线变换的法向算子分析为阶(−1, 0)的散射伪微分算子，并在维度≥5时证明其椭圆性。
• 使用微局部技术证明，在维度≥5且边界严格凸的条件下，法向算子为椭圆算子。
• 通过将问题约化为散射伪微分算子的可逆性，论文建立了量子与极化断层扫描中反问题的局部唯一性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在严格凸边界点附近，对函数和一形式，具有矩阵权的衰减射线变换是否可局部反演？
• RQ2 在维度≥3的紧致黎曼流形上，GL(N,C)-连接与希格斯场的散射数据是否足以唯一确定该对（模规范等价）？
• RQ3 X射线变换的单射性是否可推广至具有非负截面曲率（包括存在共轭点）的流形？
• RQ4 该结果是否可应用于解决量子态断层扫描与极化断层扫描中的反问题？
• RQ5 在维度≥5时，加权X射线变换的法向算子是否为椭圆算子，从而实现局部重建？

主要发现

• 在具有严格凸边界和严格凸膨胀函数的三维及以上紧致黎曼流形上，函数和一形式的加权测地线X射线变换模自然核是单射的。
• 即使存在共轭点，只要流形允许存在严格凸函数，连接与希格斯场即可由其散射数据唯一确定（模规范变换）。
• 推论1.2表明，该结果对所有维度≥3、具有严格凸边界和非负截面曲率的紧致黎曼流形均成立。
• 在量子态断层扫描中，哈密顿量H可在维度≥3时，从时间演化算子UH在严格凸边界点附近唯一恢复。
• 在极化断层扫描中，各向异性张量f可在维度≥5时，从极化数据在严格凸边界点附近唯一恢复。
• 证明了加权X射线变换的法向算子在维度≥5时为椭圆算子，从而保证了局部可逆性与重建的唯一性。