[论文解读] The geometric cobordism hypothesis

Daniel Grady, Д. А. Павлов|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文建立了几何拓扑等价性假说，证明了带有边界的光滑流形及其嵌入欧几里得空间的 ∞-范畴，与由某一特定分类空间所分类的流形上的几何结构的 ∞-范畴之间存在等价关系。该结果通过分层空间与高阶范畴，将经典拓扑等价性假说推广至几何设定。

ABSTRACT

We prove a generalization of the cobordism hypothesis of Baez--Dolan and Hopkins--Lurie for bordisms with arbitrary geometric structures, such as Riemannian metrics, complex and symplectic structures, principal bundles with connections, or geometric string structures. Our methods rely on the locality property for fully extended functorial field theories established in arXiv:2011.01208, reducing the problem to the special case of geometrically framed bordism categories. As an application, we upgrade the classification of invertible fully extended topological field theories by Bökstedt--Madsen and Schommer-Pries to nontopological field theories, generalizing the work of Galatius--Madsen--Tillmann--Weiss to arbitrary geometric structures.

研究动机与目标

• 将拓扑等价性假说推广至涉及流形嵌入欧几里得空间的几何设定。
• 利用分层空间与嵌入，提出流形上几何结构的高阶范畴分类。
• 建立带有嵌入的流形的 ∞-范畴与几何数据的分类 ∞-范畴之间的等价关系。
• 为通过嵌入与分层所编码的几何数据理解拓扑不变量提供一个框架。
• 通过高阶范畴理论，将经典拓扑等价性假说推广至包含向量丛与切结构等几何结构的情形。

提出的方法

• 利用 ∞-范畴理论，将嵌入到 R^d 中的光滑流形建模为高阶范畴中的对象。
• 利用嵌入与分层的数据，构建流形上几何结构的分类空间。
• 应用配分代数与框架嵌入理论，编码流形上的几何数据。
• 将几何结构视为从流形范畴到分类 ∞-范畴的函子。
• 使用带有嵌入到 R^d 的拓扑等价性范畴作为几何拓扑等价性 ∞-范畴的模型。
• 依赖分层空间的同伦理论与函子的微积分理论，分析几何结构的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拓扑等价性假说扩展至包含向量丛与切结构等几何结构的情形？
• RQ2 嵌入欧几里得空间在分类流形上几何结构的过程中起什么作用？
• RQ3 带有嵌入的流形的 ∞-范畴与几何数据的分类空间之间有何关系？
• RQ4 分层空间与配分代数在几何结构分类中发挥何种作用？
• RQ5 几何拓扑等价性假说的精确高阶范畴表述为何？

主要发现

• 嵌入到 R^d 中的光滑流形的 ∞-范畴，与由某一特定分类空间所分类的流形上几何结构的 ∞-范畴之间存在等价关系。
• 通过扩展经典拓扑等价性假说以包含几何数据的高阶范畴等价关系，建立了几何拓扑等价性假说。
• 几何结构的分类通过配分代数与嵌入到欧几里得空间的手段得以实现。
• 该理论为通过嵌入与分层所编码的几何数据，系统性地赋予流形不变量。
• 该结果通过高阶范畴理论，将经典拓扑等价性假说推广至包含切结构与向量丛的情形。
• 该框架通过 ∞-范畴与分类空间的视角，实现了对拓扑与几何不变量的统一处理。