[论文解读] The Geometric Dynamical Northcott and Bogomolov Properties

Thomas Gauthier, Gabriel Vigny|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 40被引用 11

一句话总结

该论文在特征零的函数域上，利用复动力系统与分岔电流，建立了极化自同态在射影正规代数簇上的几何动力北特性质。证明了典范高度为零蕴含预周期性，并提出了一个动力系统的几何波戈莫洛夫猜想版本，已在非等构多项式斜积等情形中得到验证。

ABSTRACT

We establish the dynamical Northcott property for polarized endomorphisms of a projective variety over a function field $\mathbf{K}$ of characteristic zero, and we relate this property to the notion of stability in complex dynamics. This extends previous results of Benedetto, Baker and DeMarco in dimension $1$, and of Chatzidakis-Hrushovski in higher dimension. Our proof uses complex dynamics arguments and does not rely on the previous ones. We first show that, when $\mathbf{K}$ is the field of rational functions of a normal complex projective variety, the canonical height of a subvariety is the mass of an appropriate bifurcation current and that a marked point is stable if and only if its canonical height is zero. We then establish the geometric dynamical Northcott property characterizing points of height zero in this setting, using a similarity argument. Moving from points to subvarieties, we propose, for polarized endomorphisms, a dynamical version of the geometric Bogomolov conjecture, recently proved by Cantat, Gao, Habegger, and Xie in the original setting of abelian varieties.

研究动机与目标

• 在特征零的函数域上，建立极化自同态的几何动力北特性质。
• 利用复分析方法，将典范高度为零与动力稳定性联系起来。
• 在高维情形下，提出并证明一个动力系统的几何波戈莫洛夫猜想版本。
• 将贝克、本内代托、德马尔科以及查茨伊达基斯-赫鲁斯托夫斯基的先前结果推广至高维射影代数簇。
• 通过临界集上分岔电流非零，分析代数自同态族的稳定性。

提出的方法

• 利用复动力系统，为基簇 $\mathcal{B}$ 上的极化自同态族关联一个纤维化格林当前 $\widehat{T}_{\mathcal{f}}$。
• 通过在 $\widehat{T}_{\mathcal{f}}^{\dim X}$ 上积分，证明子簇的典范高度等于相应分岔电流的质量。
• 利用电流 $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ 的消失性，证明标记点稳定当且仅当其典范高度为零。
• 应用类比论证，从典范高度表征推导出几何动力北特性质。
• 利用电流 $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ 的非零性，证明如德斯博瓦家族等族的不稳定性。
• 通过分岔电流分析，在非等构多项式斜积情形下验证了动力波戈莫洛夫猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在函数域上的射影代数簇上，极化自同态下子簇的典范高度何时为零？
• RQ2 典范高度为零与代数自同态族中动力稳定性的精确关系为何？
• RQ3 几何波戈莫洛夫猜想能否推广至高维极化自同态的动力设定？
• RQ4 与临界集相关的分岔电流在何种条件下消失，这又对稳定性意味着什么？
• RQ5 复动力系统技术如何用于证明函数域上算术动力系统的有限性结果？

主要发现

• 子簇的典范高度等于相应分岔电流的质量，从而将算术与复动力系统联系起来。
• 标记点稳定当且仅当其典范高度为零，提供了稳定性的算术刻画。
• 几何动力北特性质在特征零的函数域上的极化自同态上成立，推广了先前结果。
• 在非等构多项式斜积（第一坐标为等构情形）下，动力波戈莫洛夫猜想已得证。
• 德斯博瓦家族被证明是非J-稳定的，因为电流 $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ 非零，意味着存在非平凡的分岔locus。
• 电流 $T_{\mathcal{f},\mathrm{Crit}(\mathcal{f})}$ 的非零性意味着临界集不是预周期的，因此该族不稳定。