[论文解读] The Geometric M\"obius function and quadratic character sums

Mark Shusterman|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文建立了函数域中短Möbius和与乘法特征和之间的联系，表明控制后者可确保前者出现抵消。利用Burgess界，证明了在大模数的算术级数中Möbius函数的抵消，并表明在特征3下，几何Möbius函数在低于平方根屏障的区间内变号。

ABSTRACT

We show that in order to obtain cancellation in short M\obius sums over function fields, it suffices to control short multiplicative character sums. In conjunction with the Burgess bound, this allows us to obtain M\obius cancellation in certain arithmetic progressions with large moduli. Furthermore, we show that in characteristic $3$, the geometric M\obius function changes sign in intervals below the square root barrier.

研究动机与目标

• 建立函数域中短Möbius和与短乘法特征和之间的联系。
• 利用Burgess界在大模数的算术级数中实现Möbius函数的抵消。
• 研究低于平方根屏障的区间内几何Möbius函数的符号变化。
• 分析特征3下几何Möbius函数的行为。

提出的方法

• 将Möbius和抵消问题简化为对短乘法特征和的控制。
• 将Burgess界应用于乘法特征和，以推导出Möbius和的抵消。
• 使用代数几何和函数域技术分析几何Möbius函数。
• 聚焦于特征3，研究低于平方根屏障的区间内符号变化。
• 运用解析数论在函数域中的工具，包括特征和估计。
• 依赖函数域中zeta函数及其zeta方程的结构，以推导符号变化结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从对短乘法特征和的控制中推导出函数域中短Möbius和的抵消？
• RQ2 Burgess界在函数域中多大程度上能实现大模数算术级数中Möbius函数的抵消？
• RQ3 在特征3下，几何Möbius函数是否在低于平方根屏障的区间内出现符号变化？
• RQ4 特征3下函数域的何种结构特性决定了几何Möbius函数的符号变化？

主要发现

• 函数域中短Möbius和的抵消由对短乘法特征和的控制所蕴含。
• Burgess界使得在函数域的大模数算术级数中Möbius和实现非平凡抵消。
• 在特征3下，几何Möbius函数在长度低于导子平方根的区间内变号。
• 几何Möbius函数的符号变化发生于短于平方根屏障的区间，表明存在非平凡振荡。
• 结果表明，即使在低特征下，几何Möbius函数在短区间内也并非保持符号恒定。