[论文解读] The Geometric Maximum Traveling Salesman Problem

Alexander Barvinok, Sándor P. Fekete+4 more|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出了在固定维数欧几里得空间中，基于多面体范数的几何最大旅行商问题（MaxTSP）的多项式时间算法。结果表明，对于具有 $ f $ 个面的任意多面体范数，MaxTSP 可在 $ O(n^{f-2}\text{log}n) $ 时间内求解，且在二维情况下（如矩形范数和上确界范数）存在最优的 $ O(n) $ 算法；同时证明了当 $ d \geq 3 $ 时，在 $ \mathbb{R}^d $ 中的欧几里得距离下，MaxTSP 为 NP-难问题。

ABSTRACT

We consider the traveling salesman problem when the cities are points in R^d for some fixed d and distances are computed according to geometric distances, determined by some norm. We show that for any polyhedral norm, the problem of finding a tour of maximum length can be solved in polynomial time. If arithmetic operations are assumed to take unit time, our algorithms run in time O(n^{f-2} log n), where f is the number of facets of the polyhedron determining the polyhedral norm. Thus for example we have O(n^2 log n) algorithms for the cases of points in the plane under the Rectilinear and Sup norms. This is in contrast to the fact that finding a minimum length tour in each case is NP-hard. Our approach can be extended to the more general case of quasi-norms with not necessarily symmetric unit ball, where we get a complexity of O(n^{2f-2} log n). For the special case of two-dimensional metrics with f=4 (which includes the Rectilinear and Sup norms), we present a simple algorithm with O(n) running time. The algorithm does not use any indirect addressing, so its running time remains valid even in comparison based models in which sorting requires Omega(n \log n) time. The basic mechanism of the algorithm provides some intuition on why polyhedral norms allow fast algorithms. Complementing the results on simplicity for polyhedral norms, we prove that for the case of Euclidean distances in R^d for d>2, the Maximum TSP is NP-hard. This sheds new light on the well-studied difficulties of Euclidean distances.

研究动机与目标

• 研究在固定维数空间中，基于几何距离函数的 MaxTSP 的计算复杂性。
• 识别哪些几何范数允许多项式时间求解，并与相同范数下最小 TSP 的已知 NP-难性形成对比。
• 通过利用多面体范数的组合与几何结构，设计高效的算法。
• 在高维空间中建立可解的多面体范数与不可解的欧几里得范数之间的清晰二分。
• 为理解为何某些距离函数能产生高效算法（尽管 TSP 一般为 NP-难）提供理论基础。

提出的方法

• 使用中心对称多面体作为单位球来建模多面体范数，其具有 $ f $ 个面，并通过与面法向量的绝对点积最大值来表达距离。
• 通过范数的对偶表示结构，将 MaxTSP 约化为一种称为隧道 TSP 的变体。
• 利用几何排序与凸包技术，识别在范数下总旅行长度最大的边集。
• 为具有四个面的二维多面体范数（如矩形范数和上确界范数）设计线性时间算法，避免间接寻址，从而在基于比较的模型中保持 $ O(n) $ 复杂度。
• 通过从哈密顿圈问题的约化，证明在 $ \mathbb{R}^d $（$ d \geq 3 $）中，欧几里得 MaxTSP 为 NP-难，使用一个精心构造的点集，其距离具有 $ L_p $-类似性质。
• 将结果推广至拟范数（非对称单位球），得到 $ O(n^{2f-2}\text{log}n) $ 时间复杂度，并分析解空间中的结构性差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定维数空间中，基于多面体范数的几何实例，MaxTSP 是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 在 $ \mathbb{R}^d $ 中，当 $ d \geq 3 $ 时，欧几里得距离下的 MaxTSP 的计算复杂性如何？
• RQ3 单位球的面数如何影响在多面体范数下求解 MaxTSP 的时间复杂度？
• RQ4 是否存在针对二维空间中具有四个面的范数（如矩形范数和上确界范数）的线性时间 MaxTSP 算法？
• RQ5 多面体范数的结构性质能否被用于设计避开基于比较排序的 $ \Omega(n\text{log}n) $ 下界算法？

主要发现

• 对于任意固定的 $ d $，具有 $ f $ 个面的多面体范数下的 MaxTSP 可在 $ O(n^{f-2}\text{log}n) $ 时间内求解，表明其具有多项式时间可解性。
• 在二维空间中，对于具有四个面的多面体范数（如矩形范数和上确界范数），存在最优的 $ O(n) $ 时间算法，即使在基于比较的模型中亦成立。
• 当 $ d \geq 3 $ 时，$ \mathbb{R}^d $ 中欧几里得距离下的 MaxTSP 为 NP-难，与可解的多面体情形形成鲜明对比。
• 具有 $ f $ 个面的拟范数可得到 $ O(n^{2f-2}\text{log}n) $ 时间复杂度的算法，将方法扩展至非对称距离函数。
• 当 $ d $ 作为输入的一部分时，$ L_{\infty} $-范数下的 MaxTSP 为 Max-SNP-难，意味着除非 P = NP，否则不存在多项式时间近似方案。
• 尽管二维矩形范数情形在结构上较为简单，但平面欧几里得情形仍为开放问题，尽管由于其底层几何结构的相似性，普遍推测其为 NP-难。