[论文解读] The geometric sieve and the density of squarefree values of invariant polynomials

Manjul Bhargava|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 45

一句话总结

本文提出一种几何筛法，用于计算在代数群作用下不变的多元整系数多项式取平方自由值的密度，特别应用于预齐次表示与余正则表示的判别式多项式。关键结果是给出了 $S_n$-数域在 $n=3,4,5$ 时具有平方自由判别式的确切密度公式，表明该密度为正，并通过 zeta 函数因子与群论不变量显式计算得出。

ABSTRACT

We develop a method for determining the density of squarefree values taken by certain multivariate integer polynomials that are invariants for the action of an algebraic group on a vector space. The method is shown to apply to the discriminant polynomials of various prehomogeneous and coregular representations where generic stabilizers are finite. This has applications to a number of arithmetic distribution questions, e.g., to the density of small degree number fields having squarefree discriminant, and the density of certain unramified nonabelian extensions of quadratic fields. In separate works, the method forms an important ingredient in establishing lower bounds on the average orders of Selmer groups of elliptic curves.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于计算在代数群作用下不变的多元整系数多项式取平方自由值的密度。
• 将该方法应用于具有有限一般稳定子的预齐次表示与余正则表示的判别式多项式。
• 确定 $S_n$-数域在度数 $n=3,4,5$ 时具有平方自由或基本判别式的精确密度。
• 建立具有平方自由判别式的此类数域的比例恰好为具有基本判别式数域比例的 $2/3$。
• 为椭圆曲线算术中平均 Selmer 群阶的下界提供基础。

提出的方法

• 该方法利用多项式在 $\mathbb{Z}$ 上的大代数群作用下的对称性与不变性，使分析得以超越经典方法（如圆法或 Hooley 的技术）的范围。
• 提出一种几何筛法，通过分析局部条件并利用群作用简化全局计数，从而控制平方自由值的密度。
• 该方法使用一个从二元四次型空间到二元二次型对的映射 $\phi$，该映射保持不变多项式，且为至多 12 对 1 的映射。
• 通过 $|\mathcal{F}_X \cap W_p^{(2)}|$ 与 $|\mathcal{F}_X' \cap W_p^{(2)'}|$ 的界，推导出大素数 $p$ 下集合 $W_p^{(2)}$ 与 $W_p^{(2)'}$ 大小的估计，从而得到 $O(X^{5/6}/\log M)$ 的误差项。
• 结合先前工作的平均化技术，消除了误差项中的 $\epsilon$-依赖性，确保一致有界性。
• 最终通过结合所有位置（包括阿基米德位置与有限位置）的局部密度，并利用定理 1.3 中的乘积公式，推导出密度公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 度数为 $n=3,4,5$ 的 $S_n$-数域中具有平方自由判别式的自然密度是多少？
• RQ2 此类数域的密度与具有基本判别式的数域密度相比如何？
• RQ3 几何筛法能否用于计算具有群对称性的高次不变多项式取平方自由值的密度？
• RQ4 当按绝对判别式的大小排序时，$S_n$-数域中具有平方自由判别式的渐近比例是多少？
• RQ5 该方法是否可推广至计数在有限或无限多个位置满足任意局部条件的数域？

主要发现

• 度数为 $n=3,4,5$ 的 $S_n$-数域中具有平方自由判别式的密度为 $\frac{r_2(S_n)}{3n!} \zeta(2)^{-1} \cdot X + o(X)$，其中 $r_2(S_n)$ 表示 $S_n$ 中 2-挠元的个数。
• 此类数域中具有基本判别式的密度为 $\frac{r_2(S_n)}{2n!} \zeta(2)^{-1} \cdot X + o(X)$。
• 当 $n=3$ 时，具有基本判别式的 $S_n$-数域的比例为 $\zeta(2)^{-1} \zeta(3)$；当 $n=4$ 与 $n=5$ 时，其比例由包含 $p^{-2}, p^{-3}, p^{-4}, p^{-5}$ 的 Euler 乘积因子给出。
• 对于 $n=3,4,5$，具有平方自由判别式的 $S_n$-数域的比例恰好为具有基本判别式的数域比例的 $2/3$。
• 该方法导出了一个通用公式（定理 1.3），用于计算满足任意可接受局部条件集合的 $S_n$-数域的密度，包括平方自由或基本判别式条件。
• 结果被应用于建立椭圆曲线在 $\mathbb{Q}$ 上平均 Selmer 群阶的下界，确认了该方法在算术上的更广泛意义。