[论文解读] The Geometric Speed Limit of Accessible Quantum State Preparation

Marin Bukov, Dries Sels+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2018

Quantum many-body systems被引用 2

一句话总结

该论文提出了一种在局部控制下用于量子态制备的几何量子速度极限（QSL）界限，该界限基于量子几何张量推导得出。研究证明，能量方差的时间积分被控制参数空间中的测地线长度所下界限定，且当协议维持恒定能量方差时该界限可被饱和——揭示即使在非平衡、最优的协议中，其速度仍受量子几何的根本性约束。

ABSTRACT

We analyze state preparation within a restricted space of local control parameters between adiabatically connected states of control Hamiltonians. We formulate a conjecture that the time integral of energy fluctuations over the protocol duration is bounded from below by the geodesic length set by the quantum geometric tensor. The conjecture implies a geometric lower bound for the quantum speed limit (QSL). We prove the conjecture for arbitrary sufficiently slow protocols using adiabatic perturbation theory, and show that the bound is saturated by geodesic protocols, which keep the energy variance constant along the trajectory. Our conjecture implies that any optimal unit-fidelity protocol, even those which drive the system far from equilibrium, are fundamentally constrained by the quantum geometry of adiabatic evolution. When the control space includes all possible couplings, spanning the full Hilbert space, we recover the well-known Mandelstam-Tamm bound. However, using only accessible local controls to anneal in complex models such as glasses, or target individual excited states in quantum chaotic systems, the geometric bound for the QSL can be exponentially large in the system size due to a diverging geodesic length. We validate our conjecture both analytically by constructing counter-diabatic and fast-forward protocols for a three-level system, and numerically in non-integrable spin chains using optimal control.

研究动机与目标

• 建立在局部控制参数下，量子态制备所需时间的理论下限。
• 研究作为量子几何张量编码的量子几何，如何约束绝热连接系统中态制备的速度。
• 确定最优协议——尤其是那些将系统驱动至远离平衡态的协议——是否仍受几何约束的限制。
• 探索在自旋玻璃和量子混沌系统等复杂多体系统中，几何QSL的标度行为。
• 通过解析与数值方法在不同量子模型中验证所提出的界限。

提出的方法

• 提出一个猜想：能量涨落的时间积分被控制参数空间中的测地线长度所下界限定，该长度由量子几何张量定义。
• 利用绝热微扰理论证明该猜想，适用于足够缓慢的协议，从而在绝热区域内确立该界限的有效性。
• 识别出测地线协议为那些通过沿轨迹保持恒定能量方差而使界限达到饱和的协议。
• 当所有哈密顿量耦合均可访问时，恢复Mandelstam-Tamm界限作为特例。
• 为三能级系统构造反绝热与快速前馈协议，以解析方式验证该猜想。
• 在非可积自旋链中使用最优控制进行数值模拟，以在复杂多体系统中确认几何界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子态制备中能量方差的时间积分是否可被一个由量子几何张量导出的几何量所下界限定？
• RQ2 即使在远离平衡态的情况下，最优高保真度协议在多大程度上仍受绝热演化中量子几何的约束？
• RQ3 在局部控制受限的情况下，特别是在自旋玻璃或量子混沌系统等复杂模型中，几何QSL如何标度？
• RQ4 在何种条件下几何界限可被饱和？此类最优协议的动力学特性是什么？
• RQ5 当仅存在局部耦合时，几何QSL是否仍保持紧致性？这又如何影响大规模系统中态制备的速度？

主要发现

• 量子态制备中能量涨落的时间积分被控制参数空间中的测地线长度所下界限定，该长度由量子几何张量定义。
• 通过绝热微扰理论，该界限在足够缓慢的协议中被严格证明，确立了量子速度极限的几何下限。
• 测地线协议——即沿路径保持恒定能量方差的协议——可使界限达到饱和，表明其在能量效率与速度方面具有最优性。
• 当仅存在局部控制时，由于测地线长度发散，几何QSL可能随系统尺寸呈指数级增长，尤其在自旋玻璃等复杂模型中。
• 通过三能级系统中的反绝热与快速前馈协议，该猜想得到解析验证，结果与预测界限一致。
• 在非可积自旋链中使用最优控制进行的数值模拟确认了几何QSL，支持其在真实复杂量子系统中的相关性。