[论文解读] The geometrical meaning of the Weitzenböck connection

Alexey Golovnev|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2023

Cosmology and Gravitation Theories被引用 6

一句话总结

本文主张，修正的度规平行引力理论的纯四维标架形式在几何上比协变方法更自然，因为它通过一个全局可平行化的四维标架直接实现了平行性。在这种框架下，Weitzenböck联络自然出现；尽管局域洛伦兹不变性被显式地破坏，但本文认为通过类似 Stückelberg 的技巧实现其形式上的恢复是人为的，且对物理一致性并非必要。

ABSTRACT

In the current literature, there are many discussions about the local Lorentz invariance of modified teleparallel gravity. This symmetry is obviously violated in the classical "pure tetrad" formulation of the theory, while it gets restored in the "fully covariant" approach. My claim is that, despite many heated discussions, the two formulations are just equivalent. And the purpose of this note is to argue that the local Lorentz invariance is not natural for the modified teleparallel theories at all, making the pure tetrad approach more fundamentally justified.

研究动机与目标

• 阐明平行引力理论中 Weitzenböck 联络的几何意义。
• 论证纯四维标架形式比协变方法更具根本合理性。
• 挑战普遍认为在修正的平行引力理论中必须保持局域洛伦兹不变性的观点。
• 在物理等价性和几何解释方面，展示纯四维标架形式与协变形式之间的等价性，同时偏好前者因其几何清晰性。
• 解决修正的平行引力理论模型中关于对称性与一致性的基础性问题。

提出的方法

• 使用协变常数四维标架场 $e^a_\nu$ 定义平行引力几何，其中平行移动与路径无关。
• 推导出 Weitzenböck 联络为与四维标架相容的唯一非曲率、含 torsion 的联络。
• 将一般仿射联络表示为 Levi-Civita 联络与扭张量 $K^\rho_{\mu\nu}$ 的形式。
• 应用恒等式 $\Gamma^\alpha_{\mu\nu} = \Gamma^{(0)\alpha}_{\mu\nu} + K^\alpha_{\mu\nu}$ 以关联曲率与 torsion。
• 表明标量曲率关系 $R = R^{(0)} + 2\nabla^{(0)}_\mu T^\mu + \mathbb{T}$ 是平行引力等价广义相对论（TEGR）的基础。
• 证明协变形式在数学上等价，但引入了通过四维标架的局域洛伦兹变换生成的非自然自旋联络，从而掩盖了几何意义。

实验结果

研究问题

• RQ1 Weitzenböck 联络在平行引力理论中的内在几何意义是什么？
• RQ2 为何纯四维标架形式比协变形式更具根本几何性？
• RQ3 在修正的平行引力理论中，局域洛伦兹不变性是否为必要对称性？
• RQ4 在物理等价性和几何解释方面，纯四维标架形式与协变形式有何关系？
• RQ5 通过类似 Stückelberg 的机制形式恢复局域洛伦兹对称性是否在物理上自然？

主要发现

• Weitzenböck 联络源于全局可平行化的四维标架，使其成为平行性几何实现的自然结果。
• 纯四维标架形式在几何上更根本，因为它直接实现了定义平行引力几何的路径无关平行移动。
• 在纯四维标架方法中，局域洛伦兹不变性被显式破坏，但这并非物理不一致。
• 协变形式在数学上等价，但引入了人为的自旋联络，遮蔽了几何意义。
• 通过类似 Stückelberg 的技巧形式恢复局域洛伦兹对称性虽可能，但被认为是人为且对物理一致性非必要。
• 作用量 $S = \int d^4x \sqrt{-g} \, \mathbb{T}$ 在 TEGR 极限下产生与爱因斯坦-希尔伯特引力相同的方程，确认了其几何等价性。