[论文解读] The Geometrical Structure of Phase Space of the Controlled Hamiltonian System with Symmetry

Hong Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文通过分析余切丛上控制哈密顿（CH）系统的马尔施登-魏斯特定理约化完备性，建立了具有对称性的控制哈密顿（CH）系统的严格几何框架。引入了可约CH系统、CH-等价性以及正则点/轨形约化等定义，证明了辛约化空间继承RCH结构，从而可通过I型和II型哈密顿-雅可比方程统一处理刚体、重摆及带内部转子的航天器等系统。

ABSTRACT

In this paper, from the viewpoint of completeness of Marsden-Weinstein reduction, we illustrate how to give the definitions of a controlled Hamiltonian (CH) system and a reducible controlled Hamiltonian system with symmetry; and how to describe the dynamics of a CH system and the controlled Hamiltonian equivalence; as well as how to give the regular point reduction and the regular orbit reduction for a CH system with symmetry, by analyzing carefully the geometrical and topological structures of the phase space and the reduced phase space of the corresponding Hamiltonian system. We also introduce briefly some recent developments in the study of reduction theory for the CH systems with symmetries and applications. These research work reveal the deeply internal relationships of the geometrical structures of phase spaces, the dynamical vector fields and controls of the CH systems.

研究动机与目标

• 通过分析余切丛上CH系统的相空间与约化相空间几何，解决马尔施登-魏斯特定理约化在CH系统上不完整的问题。
• 以确保约化系统保持良好定义的方式，定义具有对称性的控制哈密顿（CH）系统及可约CH系统。
• 建立CH-等价性、RpCH-等价性和RoCH-等价性，以表征约化动力学中由控制引起的结构变化。
• 为具有动量映射的CH系统发展正则点与轨形约化理论，确保辛结构的保持。
• 推导约化RCH系统的I型与II型哈密顿-雅可比方程，揭示不同机械系统中不变的内部动力学。

提出的方法

• 分析余切丛上具有对称性的哈密顿系统的相空间与约化相空间的几何与拓扑结构。
• 将马尔施登-魏斯特定理应用于余切丛，识别出约化空间仍为余切丛（即约化完备性）的条件。
• 通过要求约化空间支持良好定义的辛结构，引入正则可约控制哈密顿（RCH）系统的概念。
• 通过控制变换下动力学向量场与辛形式的等价性，定义CH-等价性、RpCH-等价性与RoCH-等价性。
• 通过分析典型辛形式与约化辛形式上的几何约束，推导I型与II型哈密顿-雅可比方程。
• 将该框架应用于具体系统：刚体、重摆及带内部转子的航天器，通过详细计算验证约化与哈密顿-雅可比结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与拓扑条件下，定义在余切丛上的CH系统的马尔施登-魏斯特定理约化是完备的？
• RQ2 如何定义具有对称性的控制哈密顿系统，使其约化系统仍为良好定义的哈密顿系统？
• RQ3 两个CH系统在何种精确条件下为CH-等价？这些等价性与正则点和轨形约化有何关联？
• RQ4 I型与II型哈密顿-雅可比方程如何从正则点约化RCH系统的几何结构中导出？
• RQ5 在不同物理构型的系统中（例如刚体与带转子的重摆），是否可能产生相同形式的哈密顿-雅可比方程？这对其底层动力学意味着什么？

主要发现

• 在余切丛上，CH系统的马尔施登-魏斯特定理约化并不总是完备的，约化空间可能不再是余切丛，因此需要对可约CH系统进行更精细的定义。
• 正则可约控制哈密顿（RCH）系统被定义为：其正则点与轨形约化均产生支持良好定义RCH动力学的辛流形。
• $R_p$-约化的控制刚体-转子系统与重摆-转子系统均为辛叶面上的RCH系统，可通过$R_p$-约化实现统一处理。
• 对于$R_p$-约化的刚体-转子与重摆-转子系统，I型与II型哈密顿-雅可比方程在形式上完全相同，尽管其配置空间与哈密顿量不同，表明存在深层次的结构不变性。
• 正则点约化方法与哈密顿-雅可比方程推导方法被推广并成功应用于航天器-转子与水下航行器-转子系统，证实了其广泛适用性。
• 对RCH系统动力学向量场的典型辛形式与约化辛形式的几何约束条件被精确导出，且与两类哈密顿-雅可比方程一一对应。