[论文解读] The geometry and topology of contact structures with singularities

Eva Miranda, Cédric Oms|arXiv (Cornell University)|May 20, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文引入了 $b^m$-接触结构——一种在临界超曲面 $Z$ 上具有奇点的接触结构，由非光滑的 $b^m$-接触形式定义。文章建立了局部标准形，分析了 $Z$ 上诱导的拓扑结构，并证明了通过去奇异化技术，任何接触流形中凸超曲面的连通分支均可作为 $b^m$-接触结构的临界集出现。

ABSTRACT

In this article we introduce and analyze in detail singular contact structures, with an emphasis on $b^m$-contact structures, which are tangent to a given smooth hypersurface $Z$ and satisfy certain transversality conditions. These singular contact structures are determined by the kernel of non-smooth differential forms, called $b^m$-contact forms, having an associated critical hypersurface $Z$. We provide several constructions, prove local normal forms, and study the induced structure on the critical hypersurface. The topology of those are related to smooth contact structures through a desingularization technique. The problem of existence of $b^m$-contact structures on a given manifold is also tackled in this paper. We prove that a connected component of a convex hypersurface of a contact manifold can be realized as a connected component of the critical set of a $b^m$-contact structure.

研究动机与目标

• 引入并系统分析 $b^m$-接触结构作为具有临界超曲面 $Z$ 的奇异接触结构。
• 通过非光滑微分形式表征 $b^m$-接触结构的几何与拓扑性质。
• 在临界超曲面 $Z$ 附近建立 $b^m$-接触结构的局部标准形。
• 研究由 $b^m$-接触结构在临界超曲面 $Z$ 上诱导的接触结构及其与光滑接触拓扑的关系。
• 解决在给定流形上 $b^m$-接触结构的存在性问题，特别是将其与标准接触流形中凸超曲面联系起来。

提出的方法

• 通过在光滑超曲面 $Z$ 上具有受控奇点的 $b^m$-接触形式的核来定义 $b^m$-接触结构。
• 利用横截性条件确保形式在整体流形上定义出行为良好的奇异接触结构。
• 在 $Z$ 的邻域内推导 $b^m$-接触结构的局部标准形，将标准接触标准形推广至奇异情形。
• 应用去奇异化过程，将 $b^m$-接触结构的拓扑与光滑接触结构的拓扑联系起来。
• 利用接触流形中凸超曲面的理论，构造具有预设临界集的 $b^m$-接触结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地定义并分类沿超曲面 $Z$ 具有受控奇点的接触结构？
• RQ2 $b^m$-接触结构在其临界超曲面 $Z$ 附近具有何种局部标准形？
• RQ3 $b^m$-接触结构在临界超曲面 $Z$ 上诱导出何种拓扑结构？
• RQ4 去奇异化过程如何将 $b^m$-接触结构的拓扑与光滑接触结构的拓扑联系起来？
• RQ5 在何种条件下，接触流形中凸超曲面的连通分支可被实现为 $b^m$-接触结构的临界集？

主要发现

• $b^m$-接触结构由非光滑的 $b^m$-接触形式的核定义，这些形式横截于光滑超曲面 $Z$，从而确保了奇异接触几何的良好定义。
• 在 $Z$ 的邻域内建立了 $b^m$-接触结构的局部标准形，将标准接触标准形推广至奇异情形。
• 临界超曲面 $Z$ 获得了良好定义的诱导接触结构，这对理解整体拓扑至关重要。
• 去奇异化技术使得 $b^m$-接触结构的拓扑能够与光滑接触结构的拓扑相关联，从而实现结果的转移。
• 接触流形中凸超曲面的一个连通分支可被实现为 $b^m$-接触结构临界集的一个连通分支，从而解决了该情形下的存在性问题。