[论文解读] The Geometry of Coalition Power: Majorization, Lattices, and Displacement in Multiwinner Elections

Qian Guo, Yidan Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2026

Game Theory and Voting Systems被引用 0

一句话总结

论文建立一个结构与几何框架，以量化联盟在使用位置评分规则的 Top-k 选举中如何替代赢家，给出常见阶梯 AP 梯形（AP ladders）和可行性快速判断的精确离散特征。

ABSTRACT

How much influence can a coordinated coalition exert in a multiwinner Top-$k$ election under a positional scoring rule? We study the maximum displacement problem: with coalition size $m$, how many of the current top-$k$ winners can be forced out? We show coalition power decomposes into two independent prefix-majorization constraints, capturing how much the coalition can (i) boost outsiders and (ii) suppress weak winners. For arbitrary scoring rules these prefix inequalities are tight, efficiently checkable necessary conditions (exact in the continuous relaxation). For common-step arithmetic-progression (AP) score ladders, including Borda, truncated Borda, $k$-approval/$k$-veto, plurality, and multi-level rules such as $3$--$2$--$1$, we prove a Majorization--Lattice Theorem: feasible aggregate score vectors are exactly the integer points satisfying the Block--HLP prefix-sum capacity constraints plus a single global congruence condition modulo the step size $g$. For Borda ($g=1$) the congruence vanishes, yielding a pure prefix-majorization test. This characterization yields an $O(k'\log k')$ exact feasibility oracle for displacing $k'$ winners, and an $O(k(\log k)^2\log(mx))$ algorithm (via dual-envelope binary search) for computing the maximum achievable displacement $k^\ast$. Experiments on Mallows profiles and PrefLib elections confirm exact cutoffs, diminishing returns, and substantial gains over baseline heuristics; for $g>1$ they also demonstrate the predicted congruence effect, where prefix-only tests produce false positives. The oracle scales to extreme instances, processing $10^9$ candidates in under 28 seconds (memory permitting).

研究动机与目标

• 理解一个协同行动的联盟如何影响多赢选举中的 Top-k 赢家集合的直观与量化理解。
• 通过主化和多面体几何，刻画联盟引发的得分向量的可行域。
• 给出常见步长 AP 梯形（共用步长的 AP 梯形）的精确离散可实现性结果。
• 在给定联盟规模 m 的情况下，开发多项式时间算法来计算最大可实现置换 k*。

提出的方法

• 将置换可行性分解为两个独立的子问题：提升最强的外部选手与抑制弱势的赢家。
• 将联盟的聚合得分建模为选票层面的置换体的 Minkowski 和，并推导 Block–HLP 前缀和不等式。
• 给出共用步长 AP 梯形的精确离散主序-晶格定理：可行整数向量满足 Block–HLP 前缀约束并且对模 g 的单一同余。
• 设计一个快速的可行性判断器，检查前缀支配与模同余，借助对偶包络的二分搜索在 k′ 上获得 k*。
• 在固定 Top-k 规则与 AP 梯形下，给出时间复杂度为 O(k (log k)^2 log(mx)) 的算法。
• 使用合成 Mallows 分布与真实 PrefLib 选举数据来验证理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在给定评分规则下，联盟大小为 m 的联盟在 Top-k 选举中可以保证的最大置换 k* 是多少？
• RQ2 联盟的影响能否分解为独立的提升与抑制子问题，这对可行性测试有何影响？
• RQ3 对于具有共用步长 g 的 AP 梯形评分规则，是否能获得可行聚合得分的精确离散刻画？
• RQ4 在共用步长 AP 梯形下，计算 k* 的计算复杂度如何？是否可以设计高效的可行性判断器？
• RQ5 理论包络与同余条件在合成数据与真实选举中的符合程度如何？

主要发现

• 结构性分解表明置换可行性简化为对外部选手的独立提升与对现任者的抑制。
• 联盟的可行得分区域等同于 Block–HLP 包络，这是由主序理论推导出的前缀和多态体描述。
• 对于共用步长 AP 梯形，可行的整数向量恰好满足 Block–HLP 前缀约束并且对模 g 的单一同余（主序-晶格定理）。
• 存在一个快速的基于可行性判断器的算法，通过对偶包络在 k′ 上的二分搜索得到 k*，时间复杂度为 O(k (log k)^2 log(mx))。
• 在合成 Mallows 分布与真实 PrefLib 选举的实验中，验证了预测的包络，显示收益递减且与精确的可行性判断一致；可扩展性达到较大候选人数。