[论文解读] The geometry of fractional osculator bundle of higher order and applications

I. D. Albu, Mihaela Neamţu+1 more|ArXiv.org|Sep 13, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用 14

一句话总结

本文利用黎曼-刘维尔分数阶导数，引入了高阶的分数阶法丛，建立了分数阶拉格朗日、芬斯勒和黎曼结构的几何框架。通过分数阶导数定义了分数阶非线性联络、喷射和克里斯托费尔符号，证明了其在坐标变换下的几何不变性，并推导出拉格朗日、芬斯勒和黎曼结构在k阶延拓下的分数阶欧拉-拉格朗日方程。

ABSTRACT

Using the reviewed Riemann-Liouville fractional derivative we introduce the fractional osculator Lagrange space of k order and the main structures on it. The results are applied at the k order fractional prolongation of Lagrange, Finsler and Riemann fractional structures.

研究动机与目标

• 在可微流形上发展高阶分数阶导数的几何框架。
• 利用黎曼-刘维尔分数阶导数定义阶数为k的分数阶法丛$\mathcal{E}^{\alpha k}$。
• 建立在坐标变换下不变的几何对象，如分数阶非线性联络、喷射和克里斯托费尔符号。
• 推导拉格朗日、芬斯勒和黎曼结构在k阶延拓下的分数阶欧拉-拉格朗日方程。
• 为通过不变分数阶微分算子研究其他分数阶几何结构提供基础。

提出的方法

• 在$\mathbb{R}$上的函数上使用黎曼-刘维尔分数阶导数$D^\alpha_t$及其右向对应物$^*D^\alpha_t$，并将其扩展至流形值函数。
• 将分数阶法丛$\mathcal{E}^{\alpha k} = \text{Osc}^{\alpha k}(M)$定义为分数阶切丛的高阶推广。
• 在$\mathcal{E}^{\alpha k}$上引入分数阶向量场、$\alpha k$-分数阶喷射及非线性联络，并证明其在局部坐标变换下的几何不变性。
• 通过度量张量$\gamma_{ij}^{\alpha}$的分数阶导数推导出分数阶克里斯托费尔符号$\gamma^{h}_{ij}(x, y^{(\alpha)})$。
• 利用伽马函数和分数阶导数递归构造非线性联络的对偶系数$M^{\alpha k}_j{}^i$。
• 将形式化方法应用于拉格朗日、芬斯勒和黎曼结构的k阶延拓，推导出分数阶欧拉-拉格朗日方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用黎曼-刘维尔导数将法丛的概念推广至分数阶？
• RQ2 在分数阶法丛$\mathcal{E}^{\alpha k}$中，自然出现的几何结构（如非线性联络和喷射）是什么？
• RQ3 分数阶几何对象（如克里斯托费尔符号、非线性联络）在流形上的坐标变换下是否具有几何变换性质？
• RQ4 分数阶欧拉-拉格朗日方程如何从$\mathcal{E}^{\alpha k}$上拉格朗日结构的延拓中导出？
• RQ5 该形式化方法能否扩展至通过k阶延拓描述分数阶芬斯勒和黎曼几何？

主要发现

• 分数阶法丛$\mathcal{E}^{\alpha k}$定义良好且在坐标变换下不变，确保了几何一致性。
• 在$\mathcal{E}^{\tilde{\alpha k}}$上的分数阶非线性联络通过仅依赖于拉格朗日空间基本函数$L^\alpha$的对偶系数$M^{\alpha k}_j{}^i$构造而成。
• 通过度量张量的分数阶导数推导出克里斯托费尔符号$\gamma^{h}_{ij}(x, y^{(\alpha)})$，确保与分数阶微积分的兼容性。
• k阶延拓的分数阶欧拉-拉格朗日方程由$y^{i(2\alpha)} = \mathcal{G}^i(x, y^{(\alpha)})$给出，其中$\mathcal{G}^i$涉及拉格朗日函数的分数阶导数。
• 该形式化方法允许通过分数阶导数实现拉格朗日、芬斯勒和黎曼结构的k阶延拓，同时保持几何结构。
• 结果为研究更复杂的分数阶几何结构奠定了基础，如后续文献[3]和[4]所示。