[论文解读] The geometry of Grassmannian manifolds and Bernstein type theorems for higher codimension

Jürgen Jost, Y. L. Xin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文在Grassmannian流形$\mathbb{G}_{n,m}$中引入了一个新区域$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$，该区域使得能够为具有平行平均曲率的$\mathbb{R}^{n+m}$中完备$n$-子流形的调和Gauss映射构造强次调和函数。通过利用该区域的几何性质，作者获得了更强的先验估计，并在更高余维数下证明了新的Bernstein型定理，显著扩展了先前结果，突破了Grassmannian中测地凸性限制。

ABSTRACT

We identify a region $\Bbb{W}_{\f{1}{3}}$ in a Grassmann manifold $\grs{n}{m}$, not covered by a usual matrix coordinate chart, with the following important property. For a complete $n-$submanifold in $\ir{n+m} \, (n\ge 3, m\ge2)$ with parallel mean curvature whose image under the Gauss map is contained in a compact subset $K\subset\Bbb{W}_{\f{1}{3}}\subset\grs{n}{m}$, we can construct strongly subharmonic functions and derive a priori estimates for the harmonic Gauss map. While we do not know yet how close our region is to being optimal in this respect, it is substantially larger than what could be achieved previously with other methods. Consequently, this enables us to obtain substantially stronger Bernstein type theorems in higher codimension than previously known.

研究动机与目标

• 通过分析Grassmannian流形的几何性质，将Bernstein型定理扩展至欧氏空间中更高余维数的子流形。
• 识别出在$\mathbb{G}_{n,m}$中一个比以往已知更大的区域，使得可通过次调和函数技术证明调和Gauss映射为常值。
• 通过在标准矩阵坐标图未覆盖的区域上构造强次调和函数，克服测地凸性的限制。
• 在Gauss映射的像位于$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$的紧致子集的假设下，建立调和Gauss映射的更强先验估计。
• 证明新区域$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$支持严格凸函数，从而可应用最大值原理，得出Gauss映射为常值的结论。

提出的方法

• 识别出$\mathbb{G}_{n,m}$中一个未被标准矩阵坐标图覆盖但依然支持强次调和函数的新区域$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$。
• 利用Ruh-Vilms定理，将平行平均曲率与Gauss映射在$\mathbb{G}_{n,m}$中的调和性联系起来。
• 将Gauss映射与定义在$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$上的严格凸函数复合，应用最大值原理，证明该复合函数必为常值。
• 运用先进的调和映射正则性理论，处理在非测地凸集上构造次调和函数时的技术挑战。
• 分析$\mathbb{R}^4$中余维数为3的Lawson-Osserman锥的几何性质，计算Jordan角和$w$-函数，证明$w \equiv \frac{1}{9}$。
• 推导出相对于正交标架的Gauss映射的$W$-矩阵表示，从而实现对$w$-函数和$v$-函数的显式计算，结果为$9$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在标准测地球之外使用更大的Grassmannian流形$\mathbb{G}_{n,m}$区域，以证明更高余维数子流形的Bernstein型定理？
• RQ2 是否可能在未被矩阵坐标图覆盖的$\mathbb{G}_{n,m}$区域上构造强次调和函数，以迫使Gauss映射为常值？
• RQ3 $\mathbb{G}_{n,m}$的何种几何性质使得在大于测地球的集合上存在严格凸函数？
• RQ4 Gauss映射的$w$-函数如何与Gauss映射的常值性及高余维数下子流形的极小性相关联？
• RQ5 能否将$\mathbb{R}^4$中余维数为3的Lawson-Osserman锥作为模型，用以检验新区域$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$的紧致性？

主要发现

• 区域$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$在$\mathbb{G}_{n,m}$中支持严格凸函数，并允许在Gauss映射像上构造强次调和函数。
• 对于$\mathbb{R}^{n+m}$中具有平行平均曲率且Gauss映射像位于$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$的紧致子集的完备$n$-子流形，其Gauss映射为常值，意味着该子流形是仿射的。
• Lawson-Osserman锥的Gauss映射的$w$-函数恒为$\frac{1}{9}$，对应的$v$-函数为$9$，证实其作为临界例子的作用。
• LO锥的Gauss映射像的Jordan角为$\theta_0 = \arccos(\frac{2}{3})$，$\theta_1 = \theta_2 = \arccos(\frac{\sqrt{6}}{6})$，这些角位于$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$内。
• 新区域$\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$显著大于半径为$\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$的测地球，使得可获得强于以往已知的Bernstein型定理。
• 该方法获得的结果强于以往基于测地凸性的方法，因其避免了局限于半径$\leq \frac{\sqrt{2}}{4}\pi$的球体的限制。