[论文解读] The geometry of Lie algebroids and its applications to optimal control

Liviu Popescu|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2013

Advanced Differential Geometry Research参考文献 90被引用 4

一句话总结

本文利用李代数丛构建了几何框架，统一处理最优控制问题，特别是非完整系统与分布系统。该框架将经典拉格朗日与哈密顿力学推广至李代数丛上，通过非线性联络与度量结构推导动力学方程，并应用于子黎曼系统（如海森堡群），得到以椭圆积分表示的显式测地线解，参数化于曲率与各向异性参数。

ABSTRACT

The paper presents the geometry of Lie algebroids and its applications to optimal control. The first part deals with the theory of Lie algebroids, connections on Lie algebroids and dynamical systems defined on Lie algebroids (mainly Lagrangian and Hamiltonian systems). In the second part we use the framework of Lie algebroids in the study of distributional systems (drift less control affine systems) with holonomic or nonholonomic distributions.

研究动机与目标

• 基于李代数丛构建几何框架，用于建模与分析具有约束的最优控制系统。
• 通过李代数丛结构将经典拉格朗日与哈密顿力学推广至切丛与余切丛之外的设定。
• 通过李代数丛对偶与泊松结构，解决标准勒让德变换在奇异或非正则拉格朗日系统中的局限性。
• 统一处理完整与非完整分布系统，包括海森堡与格鲁欣型子黎曼几何。
• 利用李代数丛上的非线性联络、曲率与度量结构，推导并求解此类系统的运动方程。

提出的方法

• 通过锚映射与截面上的李括号，形式化李代数丛的几何结构，包括联络、曲率、挠率与上同调。
• 通过向量丛投影的李代数丛延拓，定义全空间 $\mathcal{T}E$ 与 $\mathcal{T}E^*$ 上的非线性与线性联络。
• 应用动力协变导数与度量非线性联络，在李代数丛上推导 SODE（二阶微分方程）系统。
• 通过 $\mathcal{J}$-正则截面在李代数丛上使用哈密顿形式，利用余丛上的标准泊松结构推导哈密顿方程。
• 通过定义含各向异性参数 $\varepsilon$ 的哈密顿量 $\mathcal{H}$，将该形式应用于子黎曼系统，并通过三角代换与有理代换求解方程。
• 将系统转换至角坐标 $\theta$，并以 $\theta$ 表示显式测地线解，其中参数 $c=\pm1$ 由弧长条件 $\mathcal{H}=1/2$ 固定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用李代数丛几何推广非完整与分布控制系统的拉格朗日与哈密顿形式？
• RQ2 非线性与度量联络在李代数丛上定义动力系统中的作用是什么？
• RQ3 李代数丛的结构常数 $L_{\alpha\beta}^{\gamma}$ 如何影响哈密顿与拉格朗日形式下的运动方程？
• RQ4 当代价函数非二次（即 $\varepsilon \neq 0$）时，海森堡群等子黎曼系统中的测地线是否存在显式解？
• RQ5 参数 $\varepsilon$ 如何影响广义子黎曼设定下测地线的曲率与周期性？

主要发现

• 本文利用余丛 $\mathcal{T}E^*$ 上的标准泊松结构，推导出李代数丛上的哈密顿运动方程，其中非零结构函数为 $L_{12}^{3}=1$ 与 $L_{21}^{3}=-1$。
• 对于子黎曼海森堡型系统，测地线以弧长参数化，固定哈密顿量水平为 $\mathcal{H}=1/2$，导致径向解 $r=1/(1-\varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))$ 中 $c=\pm1$。
• 获得坐标的显式解：$x^1(\theta) = \frac{\sqrt{1-\varepsilon^2}(a\sin A\theta + b\cos A\theta)}{\lambda(1 - \varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))} - \frac{\sqrt{1-\varepsilon^2}b}{\lambda(1 - \varepsilon a)}$，$x^2$ 与 $x^3$ 有类似表达式。
• $x^3$ 坐标通过积分有理三角函数表达式获得：$x^3(\theta) = \frac{(1-\varepsilon^2)^{3/2}A}{2\lambda^2(1 - \varepsilon a)} \int \frac{1 - \cos A\theta}{(1 - \varepsilon(a\cos A\theta - b\sin A\theta))^2} d\theta$，其结果为非平凡的椭圆型积分。
• 当 $\varepsilon=0$ 时，解退化为海森堡群的经典子黎曼测地线：$x(t) = \frac{a\sin \lambda t - b(1 - \cos \lambda t)}{\lambda}$，$y(t) = \frac{b\sin \lambda t + a(1 - \cos \lambda t)}{\lambda}$，$z(t) = \frac{\lambda t - \sin \lambda t}{2\lambda^2}$。
• 参数 $\lambda$ 为常数，$\lambda = \mu_3$，由 $\dot{\mu}_3 = 0$ 在哈密顿系统中导致 $\mu_3$ 守恒而产生。