[论文解读] The Geometry of Polygons in R^5 and Quaternions

Philip Foth, Guadalupe Lozano|ArXiv.org|Feb 17, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文在 ℝ⁵ 中边长固定的多边形模空间与 (ℍℙ¹)ⁿ 关于对角 PSL(2,ℍ)-作用的加权商之间建立了实解析同构。该工作将 Gel'fand-MacPherson 对应关系推广至四元数设置，将模空间实现为四元数格拉斯曼流形 Grₕ(2,n) 关于 Sp(1)ⁿ 的商，并构造了广义作用-角坐标，揭示了其奇点局部模型为 ℝ²ⁿ⁻⁶ × [(ℝ²)ⁿ⁻⁴/SO(2)] 和 ℝⁿ⁻³ × [(ℝ³)ⁿ⁻³/SO(3)]。

ABSTRACT

We consider the moduli space M_r of polygons with fixed side lengths in five-dimensional eucledian space. We analyze the local structure of its singularities and exhibit a real-analytic equivalence between M_r and a weighted quotient of the n-fold product of the quaternionic projective line HP^1 by the diagonal PSL(2,H)-action. We explore the relation between M_r and the fixed point set of an anti-symplectic involution on a GIT quotient Gr(2,4)^n/SL(4,C). We generalize the Gel'fand-MacPherson correspondence to more general complex Grassmannians and to the quaternionic context, and realize our space M_r as a quotient of a subspace in the quaternionic Grassmannian Gr_H(2,n) by the action of the group Sp(1)^n. We also give analogues of the Gel'fand-Tsetlin coordinates on the space of quaternionic Hermitean matrices and briefly describe generalized action-angle coordinates on M_r.

研究动机与目标

• 分析 ℝ⁵ 中边长固定的多边形模空间 𝒟ᵣ 中奇点的局部结构。
• 在 𝒟ᵣ 与 (ℍℙ¹)ⁿ 关于对角 PSL(2,ℍ)-作用的加权商之间建立实解析等价关系。
• 将 Gel'fand-MacPherson 对应关系推广至复与四元数格拉斯曼流形。
• 将模空间 𝒟ᵣ 实现为四元数格拉斯曼流形 Grₕ(2,n) 关于群 Sp(1)ⁿ 的商。
• 利用四元数赫米特矩阵与辛约化技术，在 𝒟ᵣ 上构造广义作用-角坐标。

提出的方法

• 利用 Leeb 和 Millson 的稳定测度，以及 Douady 和 Earle 的共形质心构造，分析 S⁴ 作为对称空间 SL(2,ℍ)/Sp(2) 的边界时的几何性质。
• 应用实解析同构技术，证明模空间 𝒟ᵣ 在空间多边形附近局部同构于 ℝ²ⁿ⁻⁶ × [(ℝ²)ⁿ⁻⁴/SO(2)]，在平面多边形附近局部同构于 ℝⁿ⁻³ × [(ℝ³)ⁿ⁻³/SO(3)]。
• 通过固定对角线的 SO(4) 作用，将每个一般多边形 [P] ∈ 𝒟ᵣ 的顶点刚性地移动至一个二维平面，构造其规范平面代表 [P_c]。
• 通过沿对角线连续进行 SO(4) 弯曲形变，定义 3n−12 个广义角度坐标，并通过商掉 SO(3) 消除刚性运动。
• 将 𝒟ᵣ 实现为四元数格拉斯曼流形 Grₕ(2,n) 中某一子空间关于 Sp(1)ⁿ 的对角作用的商，推广复情形。
• 通过 ℂ²ᵐ ≅ ℍᵐ 上乘以 j 所诱导的对合，将 𝒟ᵣ 与 Grℂ(2,4)ⁿ/SL(4,ℂ) 的 GIT 商上的反辛对合的固定点集联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℝ⁵ 中多边形模空间的奇点如何局部组织？
• RQ2 模空间 𝒟ᵣ 与 PSL(2,ℍ) 作用下 (ℍℙ¹)ⁿ 乘积的商之间的精确实解析等价关系是什么？
• RQ3 Gel'fand-MacPherson 对应关系能否推广至四元数设置并应用于多边形模空间？
• RQ4 能否利用四元数赫米特矩阵在 𝒟ᵣ 上构造广义作用-角坐标？
• RQ5 𝒟ᵣ 与 Grℂ(2,4)ⁿ/SL(4,ℂ) 上反辛对合的固定点集之间有何关系？

主要发现

• 𝒟ᵣ 的奇点集是维数为 2n−6 的实轨道簇，同构于 3D 多边形空间 ℳᵣ⁽³⁾ 关于 ℤ/2ℤ 的商。
• 𝒟ᵣ 中平面 n 边形的邻域在局部解析上同构于 ℝⁿ⁻³ × [(ℝ³)ⁿ⁻³/SO(3)]。
• 𝒟ᵣ 中空间 n 边形的邻域在局部解析上同构于 ℝ²ⁿ⁻⁶ × [(ℝ²)ⁿ⁻⁴/SO(2)]。
• 𝒟ᵣ 的一个稠密开子集上存在 3n−12 个广义角度坐标与 n−3 个作用变量（对角线长度），构成局部坐标系。
• 模空间 𝒟ᵣ 与 (ℍℙ¹)ⁿ 关于对角 PSL(2,ℍ)-作用的加权商之间存在实解析同构。
• 𝒟ᵣ 被实现为四元数格拉斯曼流形 Grₕ(2,n) 中某一子空间关于 Sp(1)ⁿ 作用的商，推广了复情形。