[论文解读] The geometry of quantum computation

Mark R. Dowling, Michael A. Nielsen|ArXiv.org|Dec 31, 2006

Quantum Mechanics and Applications被引用 10

一句话总结

本文通过将幺正演化建模为弯曲流形上的测地线，建立了一个用于量子线路复杂度的黎曼几何框架，表明最优哈密顿量演化遵循一个通用的测地线方程。其关键贡献是一种形变过程，用于计算连接目标幺正矩阵的最短测地线，从而能够从几何不变量和曲率推导出量子线路复杂度的下界。

ABSTRACT

Determining the quantum circuit complexity of a unitary operation is closely related to the problem of finding minimal length paths in a particular curved geometry [Nielsen et al, Science 311, 1133-1135 (2006)]. This paper investigates many of the basic geometric objects associated to this space, including the Levi-Civita connection, the geodesic equation, the curvature, and the Jacobi equation. We show that the optimal Hamiltonian evolution for synthesis of a desired unitary necessarily obeys a simple universal geodesic equation. As a consequence, once the initial value of the Hamiltonian is set, subsequent changes to the Hamiltonian are completely determined by the geodesic equation. We develop many analytic solutions to the geodesic equation, and a set of invariants that completely determine the geodesics. We investigate the problem of finding minimal geodesics through a desired unitary, U, and develop a procedure which allows us to deform the (known) geodesics of a simple and well understood metric to the geodesics of the metric of interest in quantum computation. This deformation procedure is illustrated using some three-qubit numerical examples. We study the computational complexity of evaluating distances on Riemmanian manifolds, and show that no efficient classical algorithm for this problem exists, subject to the assumption that good pseudorandom generators exist. Finally, we develop a canonical extension procedure for unitary operations which allows ancilla qubits to be incorporated into the geometric approach to quantum computing.

研究动机与目标

• 开发一个全面的几何框架，利用黎曼几何分析量子线路复杂度。
• 确定幺化操作流形上的勒维-奇维塔联络、曲率和测地线方程。
• 构建一种形变过程，用于计算从单位元到目标幺化操作的最短测地线。
• 建立几何距离与量子线路复杂度之间的联系，特别是针对下界。
• 研究在黎曼流形上评估距离的计算复杂度及其对经典算法的影响。

提出的方法

• 将量子线路复杂度形式化为一个黎曼几何问题，其中度量距离对应于量子门数量。
• 推导出n量子比特幺化操作流形的勒维-奇维塔联络和曲率张量，从而能够计算所有几何量。
• 推导出控制最优哈密顿量演化的测地线方程，表明一旦初始哈密顿量确定，其余部分即由测地线方程决定。
• 引入一种测地线形变过程，能平滑地将测地线从简单度量变换为目标量子计算度量，同时保持端点不变。
• 利用雅可比场和共轭点分析测地线何时不再为全局最小路径，从而实现对最短路径的数值搜索。
• 应用一种典范扩展过程，将辅助量子比特纳入几何框架，保持几何一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为幺化操作空间赋予一个黎曼度量，使得测地线距离对应于量子线路复杂度？
• RQ2 在量子线路流形上，基本几何对象——勒维-奇维塔联络、曲率、测地线——是什么？
• RQ3 能否开发一种系统性方法，用于计算从单位元到目标幺化操作U的最短测地线？
• RQ4 在此量子几何设定下，评估黎曼距离的计算复杂度有何影响？
• RQ5 几何不变量和曲率在多大程度上可用于推导精确量子线路复杂度的下界？

主要发现

• 合成幺化操作的最优哈密顿量演化必然遵循一个通用的测地线方程，整个演化过程由初始哈密顿量完全决定。
• 推导出一组完整的运动常数和测地线方程的解析解，包括三量子比特幺化操作的一般精确解。
• 测地线形变过程使得能够数值计算连接目标幺化操作的最短测地线，已在随机幺化操作和量子傅里叶变换上得到验证。
• 在标准伪随机生成器假设下，证明了在流形上计算黎曼距离的问题在经典计算上是不可行的，意味着不存在高效的经典算法。
• 几何不变量和曲率可用于推导精确门复杂度的下界：若几何距离呈超线性或指数增长，则门数量亦然。
• 典范扩展过程使得辅助量子比特可被纳入几何框架，确保与量子计算几何方法的一致性。