[论文解读] The geometry of the classical solutions of the Garnier systems

Marta Mazzocco|ArXiv.org|Jun 25, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过黎曼-希尔伯特问题与等单值变形，为 $n$ 个变量的 Garnier 系统 ${\cal G}_n$ 的经典解建立了一个几何框架。证明了当 $l$ 个单值矩阵为 $\pm\mathbb{1}$ 时，经典解出现，此时 ${\cal G}_n$ 退化为 ${\cal G}_{n-l}$，并识别出具有可约单值群的解可约化为 Lauricella 超几何函数，从而完全分类了 Painlevé VI 方程的所有经典非代数解，其特征为单值群可约或存在一个单值矩阵为 $\pm\mathbb{1}$。

ABSTRACT

Our aim is to find a general approach to the theory of classical solutions of the Garnier system in $n$-variables, ${\cal G}_n$, based on the Riemann-Hilbert problem and on the geometry of the space of isomonodromy deformations. Our approach consists in determining the monodromy data of the corresponding Fuchsian system that guarantee to have a classical solution of the Garnier system ${\cal G}_n$. This leads to the idea of the reductions of the Garnier systems. We prove that if a solution of the Garnier system ${\cal G}_{n}$ is such that the associated Fuchsian system has $l$ monodromy matrices equal to $\pm\ID$, then it can be reduced classically to a solution of a the Garnier system with $n-l$ variables ${\cal G}_{n-l}$. When $n$ monodromy matrices are equal to $\pm\ID$, we have classical solutions of ${\cal G}_n$. We give also another mechanism to produce classical solutions: we show that the solutions of the Garnier systems having reducible monodromy groups can be reduced to the classical solutions found by Okamoto and Kimura in terms of Lauricella hypergeometric functions. In the case of the Garnier system in 1-variables, i.e. for the Painlevé VI equation, we prove that all classical non-algebraic solutions have either reducible monodromy groups or at least one monodromy matrix equal to $\pm\ID$.

研究动机与目标

• 通过等单值变形与黎曼-希尔伯特问题，发展一种针对 $n$ 个变量 Garnier 系统 ${\cal G}_n$ 的经典解的通用几何方法。
• 通过关联 Fuchsian 系统的单值数据表征经典解。
• 建立一个约化机制：若 $l$ 个单值矩阵为 $\pm\mathbb{1}$，则解约化为 ${\cal G}_{n-l}$ 的经典解。
• 证明具有可约单值群的解可系统地约化为 Lauricella 超几何函数。
• 根据单值数据，完全分类所有 Painlevé VI 方程的经典非代数解，其特征为单值群可约或存在一个单值矩阵为 $\pm\mathbb{1}$。

提出的方法

• 该方法利用黎曼-希尔伯特问题确定保证 ${\cal G}_n$ 经典解的单值数据。
• 当 $l$ 个单值矩阵等于 $\pm\mathbb{1}$ 时，Garnier 系统实现约化，导出低维系统 ${\cal G}_{n-l}$。
• 该方法依赖于由 $w_0, w_1, w_3, w_4$ 生成的有理变换以及对称性 $T_1, T_3, T_4$，以标准化参数与单值数据。
• 从单值条件导出代数关系 ${\cal R}_{\infty}=0$，从而得到经典解满足的一阶代数微分方程。
• 分析了 ${\vartheta_{\infty}}=2$ 和 $-1$ 的情形，以导出广义 Chazy 解，其中 $\theta_k \in \mathbb{Z}$ 或 $\vartheta_{\infty} + \sum \varepsilon_k \theta_k \in 2\mathbb{Z}$ 为关键条件。
• 通过定理 31 完成分类，确认所有经典解均源于这些单值条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种单值条件下，Garnier 系统 ${\cal G}_n$ 的解成为经典解？
• RQ2 当 $l$ 个单值矩阵为 $\pm\mathbb{1}$ 时，如何实现 ${\cal G}_n$ 到 ${\cal G}_{n-l}$ 的约化？
• RQ3 具有可约单值群的解是否可系统地约化为已知的经典函数，如 Lauricella 超几何函数？
• RQ4 如何根据单值数据完全分类 Painlevé VI 方程的所有经典非代数解？
• RQ5 所有 ${\cal G}_n$ 的经典解是否均由单值条件 $M_k = \pm\mathbb{1}$ 或可约单值群捕获？

主要发现

• 若关联 Fuchsian 系统的 $l$ 个单值矩阵为 $\pm\mathbb{1}$，则 ${\cal G}_n$ 的解经典地约化为 ${\cal G}_{n-l}$ 的解。
• 当所有 $n$ 个单值矩阵均为 $\pm\mathbb{1}$ 时，解对 ${\cal G}_n$ 是经典的。
• 具有可约单值群的解可约化为 Okamoto 与 Kimura 所发现的、以 Lauricella 超几何函数表示的经典解。
• 对于 Painlevé VI（$n=1$），所有经典非代数解均具有可约单值群或至少一个单值矩阵为 $\pm\mathbb{1}$。
• 广义 Chazy 解源于单值条件 ${\cal M}_{\infty} = \pm\mathbb{1}$，并为 $p(x)$ 与 $y(x)$ 推导出显式代数微分方程。
• 经典解的分类是完整的：所有此类解均源于 $\theta_k \in \mathbb{Z}$ 或 $\vartheta_{\infty} + \sum \varepsilon_k \theta_k \in 2\mathbb{Z}$，经定理 31 确认。