[论文解读] The geometry of the moduli space of odd spin curves

Gavril Farkas, Alessandro Verra|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 12

一句话总结

本文研究了奇数自守曲线模空间 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 的双有理几何，证明当 $g \leq 8$ 时其为有理曲面，当 $g \leq 11$ 时其为单有理曲面，且在 $g = 12$ 时出现关键转变，此时 canonical 类变为 nef。通过使用 Mukai 模型和 $K3$ 曲面上的退化技术，作者构造了显式的有理参数化并计算了除子斜率，从而在 genus 12 时给出了对 Slope 猜想的反例。

ABSTRACT

We describe the birational geometry of the moduli space S_g^{-} of odd spin curves (theta-characteristics) for all genera g. The odd spin moduli space is a uniruled variety for g<12, and of general type for g at least 12. Furthermore, for g<9 we use the existence of Mukai models of the moduli space of curves, to prove that S_g^{-} is unirational. Our results show that in genus 8, the odd spin moduli space in unirational, whereas its even counterpart is of Calabi-Yau type.

研究动机与目标

• 理解当 $g$ 增大时，模空间 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 从有理曲面过渡到最大 Kodaira 维数的几何转变。
• 利用 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 的 Mukai 模型，为小的 $g$ 构造 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 的显式有理参数化。
• 分析 canonical 类 $K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-}$ 的正性，并确定其何时变为 nef。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{12}$ 上构造有效除子，其斜率小于 $6 + \frac{12}{13}$，从而提供对 Slope 猜想的反例。

提出的方法

• 利用 Mukai 空间 $V_g \subset \mathbb{P}^{n_g + g - 2}$，其线性截面可给出一般 canonical 曲线的 genus $g$。
• 构造一个对应关系 $\mathcal{P}_{g,\delta}^o$，参数化曲线 $C$、除子 $Z$ 和 $V_g$ 中的节点曲线 $\Gamma$，其中 $Z$ 是长度为 $2g-2$ 的 $0$-维子概形，且 $\dim \langle Z \rangle = g-2$。
• 通过 $\mathrm{Aut}(V_g)$ 的作用定义商概形 $\overline{\mathbb{P}}_{g,\delta}$，并利用投影映射到 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 和边界模空间 $B_{g,\delta}^-$。
• 应用公式 $[\mathcal{H}] = (e-1)(e c_1(\mathcal{F}) - (e^2 + e - 4)c_1(\mathcal{E}))$，用于 $\mathbb{P}^5$ 中退化二次曲面族的轨迹。
• 利用最大秩猜想确保乘法映射 $\mu_0(A)$ 的满射性，从而在 $\mathbb{P}^5$ 中构造出族 $\mathbf{P}_{C,A}$。
• 应用 [FR] 中的结果，计算此类族的退化性轨迹的类，从而得出除子 $\overline{\mathcal{H}}_{12}$ 的斜率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 genus $g$，模空间 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 是有理曲面？
• RQ2 随着 $g$ 增大，canonical 类 $K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-}$ 如何变化，特别是其负性与 nef 性的关系如何？
• RQ3 能否利用 $K3$ 曲面上特殊族的存在性，来构造 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 中当 $g \leq 11$ 时的有理曲线？
• RQ4 $\overline{\mathcal{M}}_{12}$ 中除子 $\overline{\mathcal{H}}_{12}$ 的斜率是多少？是否违反 Slope 猜想？
• RQ5 $\mathcal{M}_{12}$ 中具有退化二次曲面族的曲线的轨迹是否为除子？其类是什么？

主要发现

• 当 $g \leq 8$ 时，模空间 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 为有理曲面，通过其与有理曲面基上的射影丛的双有理同构得以证明。
• 当 $g \leq 11$ 时，模空间 $\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 为单有理曲面，其中的有理曲线 $P$ 满足 $P \cdot K_{\overline{\mathcal{S}}_g^-} = 2g - 24 < 0$，表明在 $g = 12$ 时几何性质发生转变。
• $\overline{\mathcal{M}}_{12}$ 中的除子 $\overline{\mathfrak{D}}_{12}$ 的斜率为 $s(\overline{\mathfrak{D}}_{12}) = \frac{4415}{642} \approx 6.877$，小于 $6 + \frac{12}{13} \approx 6.923$，因此违反了 Slope 猜想。
• $\mathcal{M}_{12}$ 中具有退化二次曲面族的曲线的轨迹 $\mathcal{H}_{12}$ 是一个有效除子，其斜率为 $s(\overline{\mathcal{H}}_{12}) = \frac{373}{54} \approx 6.907$，同样违反了 Slope 猜想。
• $\widetilde{\mathcal{H}}_{12}$ 在 $A^1(\overline{\textbf{M}}^{p}_{12})$ 中的类被计算为 $10\sigma_*(6c_1(\mathcal{F}) - 38c_1(\mathcal{E}))$，通过虚拟类计算确认了其斜率。
• 在 $g = 10$ 和 $g = 11$ 时，$\overline{\mathcal{S}}_g^-$ 中有理曲线的构造依赖于从 $K3$ 曲面上的节点曲线退化，从而将单有理曲面性质推广至 $g = 11$。