[论文解读] The geometry of weakly selfdual Kahler surfaces

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+1 more|ArXiv.org|Apr 25, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文通过证明其具有双哈密顿结构，对弱自对偶凯勒曲面——即具有调和反自对偶外尔张量的凯勒4-流形——进行了分类：标量曲率与归一化里奇形式的Pfaffian均为对换的哈密顿等距向量场的泊松对易的动量映射。作者给出了依赖于一个四次多项式与一个常数的显式局部分类，并证明紧致弱自对偶凯勒曲面要么是局部同调维数为一的（$F_1$上的卡拉比型度量），要么具有平行里奇曲率。该工作还推广至近凯勒流形，证明紧致近凯勒4-流形若具有常数拉格朗日截面曲率，则必为凯勒且自对偶。

ABSTRACT

We study Kahler surfaces with harmonic anti-selfdual Weyl tensor. We provide an explicit local description, which we use to obtain the complete classification in the compact case. We give new examples of extremal Kahler metrics, including Kahler-Einstein metrics and conformally Einstein Kahler metrics. We also extend some of our results to almost Kahler 4-manifolds, providing new examples of Ricci-flat almost Kahler metrics which are not Kahler.

研究动机与目标

• 对弱自对偶凯勒曲面进行分类，定义为具有调和反自对偶外尔张量的凯勒4-流形，使用几何与分析方法。
• 在这些曲面上建立双哈密顿结构，表明标量曲率与归一化里奇形式的Pfaffian均为对换的哈密顿等距向量场的动量映射。
• 提供显式局部与全局分类，特别是紧致情形，并构造极小凯勒、凯勒爱因斯坦及共形爱因斯坦凯勒度量的新例子。
• 将结果推广至近凯勒4-流形，证明紧致近凯勒流形若具有常数拉格朗日截面曲率，则必为凯勒且自对偶。

提出的方法

• 利用松本–田中恒等式，该恒等式表明初等里奇形式满足一个超定线性微分方程，从而导出一个具有相反方向的共形凯勒赫米特结构。
• 分析具有“哈密顿”2-形式的凯勒曲面的几何结构，其中2-形式为闭、$J$-不变，且其初等部分满足超定方程。
• 应用卡拉比构造来描述同调维数为一的度量，通过单变量函数显式参数化。
• 推导出依赖于四次多项式与常数的度量的局部标准形，推广了布里安特的自对偶情形。
• 应用环面凯勒结构理论，刻画一类仅依赖于两个单变量函数的“正交环面”曲面，将曲率条件简化为常微分方程。
• 利用拓扑与曲率约束，包括非恒定标量曲率及存在反向定向对合，排除紧致情形下亏格为0的可展曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 弱自对偶凯勒曲面的完整局部与全局分类是什么？
• RQ2 在自对偶凯勒曲面中观察到的双哈密顿结构是否可推广至调和反自对偶外尔张量的更弱条件？
• RQ3 在弱自对偶类中是否存在新的极小凯勒度量例子，包括凯勒爱因斯坦或共形爱因斯坦度量？
• RQ4 具有常数拉格朗日截面曲率的紧致近凯勒4-流形是否必然具有可积的近复结构？
• RQ5 初等里奇形式在决定弱自对偶凯勒曲面几何结构中起什么作用？

主要发现

• 弱自对偶凯勒曲面具有双哈密顿结构：标量曲率与归一化里奇形式的Pfaffian是对换的哈密顿等距向量场的泊松对易动量映射。
• 在一般情形下，度量具有显式局部形式，依赖于一个四次多项式与一个常数，且当且仅当度量为自对偶时该常数为零。
• 对于紧致连通弱自对偶凯勒曲面，唯一可能的情形是同调维数为一（$F_1$上的卡拉比型度量）或里奇曲率为平行（凯勒爱因斯坦或局部为常曲率黎曼曲面的积）。
• 在第一希策布鲁赫曲面 $F_1$ 上，唯一的紧致弱自对偶极小度量由卡拉比构造显式给出，且在同位相似下唯一。
• 具有常数拉格朗日截面曲率的紧致近凯勒4-流形必为凯勒且自对偶，从而在紧致性条件下解决了该猜想。
• 本文构造了新的极小凯勒度量例子，其为共形爱因斯坦但既非自对偶也非反自对偶，并在该类中提供了显式凯勒爱因斯坦度量。