[论文解读] The Giry monad as a codensity monad

Kirk Sturtz|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Rough Sets and Fuzzy Logic被引用 1

一句话总结

本文将概率范畴论中的核心概念——Giry函子——确立为从凸空间到可测空间的函子所生成的余密度函子。通过证明概率测度对应于取值于单位区间的弱平均、保极限泛函，本文证明Giry函子同构于一个双对偶化函子的子函子，并利用Giry函子的强函子结构推导出积分算子。

ABSTRACT

We present a categorical viewpoint of probability measures by showing that a probability measure can be viewed as a weakly averaging affine measurable functional taking values in the unit interval which preserves limits. The probability measures on a space are the elements of a submonad of a double dualization monad on the category of measurable spaces into the unit interval, and this monad is naturally isomorphic to the Giry monad. We show this submonad is the codensity monad of a functor from the category of convex spaces to the category of measurable spaces. A theorem proving the integral operator acting on the space of measurable functions and the space of probability measures on the domain space of those functions is given using the strong monad structure of the Giry monad.

研究动机与目标

• 将概率测度范畴化地表征为取值于单位区间的、保极限的弱平均泛函。
• 证明Giry函子自然地作为可测空间上双对偶化函子的子函子出现。
• 证明Giry函子同构于从凸空间到可测空间的函子的余密度函子。
• 利用Giry函子的强函子性质，建立积分算子的存在性与结构。

提出的方法

• 将概率测度表示为保极限的、取值于单位区间的仿射可测泛函。
• 在可测空间范畴上构造一个取值于单位区间的双对偶化函子。
• 识别该双对偶化函子中的一个子函子，其恰好捕捉概率测度的结构。
• 通过范畴对偶性与保极限性质，证明该子函子同构于Giry函子。
• 证明Giry函子是凸空间到可测空间的函子的余密度函子。
• 利用Giry函子的强函子结构，推导作用于可测函数与概率测度的积分算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 概率测度能否被范畴化地表征为取值于单位区间的可测空间上的泛函？
• RQ2 Giry函子是否同构于从凸空间到可测空间的函子所生成的余密度函子？
• RQ3 保极限性与弱平均性在定义可测概率泛函中起什么作用？
• RQ4 可测空间上的双对偶化函子与Giry函子的结构有何关联？
• RQ5 能否从Giry函子的强函子结构推导出作用于可测函数与概率测度的积分算子？

主要发现

• Giry函子同构于取值于单位区间的可测空间上的双对偶化函子的子函子。
• 概率测度正是那些弱平均、保极限、仿射且可测的取值于单位区间的泛函。
• 捕捉概率测度的子函子自然同构于Giry函子。
• Giry函子作为从凸空间到可测空间的函子的余密度函子而自然出现。
• 作用于可测函数与概率测度的积分算子由Giry函子的强函子结构推导得出。
• 该构造建立了概率、凸性与可测泛函之间深层的范畴对偶性。