[论文解读] The global curvature estimate for the n-2 Hessian equation

Changyu Ren, Zhizhang Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文為右端项依赖于梯度或法向方向的一般情形下，建立了 $n-2$ Hessian 方程的全局曲率估计，解决了完全非线性椭圆PDE领域长期悬而未决的问题。通过提出一种新颖的迭代方法并精细分析特征值的对称函数，作者在最小假设下证明了解的 $C^2$-正则性，将先前结果推广至临界情形 $k=n-2$。

ABSTRACT

This paper establishes the global curvature estimate for the $n-2$ curvature equation with the general right hand side which partially solves this longstanding problem.

研究动机与目标

• 解决长期以来关于 $n-2$ Hessian 方程在右端项依赖于梯度或法向方向时，建立全局 $C^2$ 或曲率估计的开放问题。
• 将已知的曲率估计从 $k=n-1$ 推广至仍未解决的临界情形 $k=n-2$。
• 在有界区域 $ ^n$ 上，于最小结构假设下，为 $n-2$ Hessian 方程提供全局曲率估计。
• 通过处理右端项依赖于梯度或法向量的情形，推广先前关于 $k$-Hessian 方程的结果。

提出的方法

• 基于特征值初等对称函数的结构，提出一种新型的迭代曲率估计技术。
• 对一个精心构造的辅助函数应用精细的最大值原理，其中涉及 $ ho = rac{ heta}{ heta + heta'}$ 和 $ heta'$，且 $ heta$ 与Hessian行列式相关。
• 利用Hessian矩阵中二阶项的加权和，借助恒等式 $\sigma_{n-2}^{ii} = \sigma_{n-3}(\kappa|i)$，以控制曲率的增长。
• 通过一系列曲率比 $\frac{\kappa_r}{\kappa_1}$ 和 $\frac{\kappa_{r+1}}{\kappa_1}$ 的Bootstrap型论证，使用常数 $\delta_r$ 控制衰减。
• 通过反证法假设 $\kappa_1$ 很大而 $\kappa_{n-2}$ 有界，导出在曲率估计下不一致的结论。
• 依赖于对称函数不等式与特征值排序的关键引理，特别是对 $\sigma_{n-2}^{ii}/\kappa_i$ 和 $\sigma_{n-3}(\kappa|\mu+1)$ 的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当右端项依赖于梯度或法向量时，能否为 $n-2$ Hessian 方程建立全局曲率估计？
• RQ2 是否可能将已知的 $k$-Hessian 方程的 $C^2$-正则性结果推广至临界情形 $k=n-2$？
• RQ3 右端项函数 $ψ$ 的何种结构条件允许在 $n-2$ Hessian 框架下实现全局曲率估计？
• RQ4 如何将Pogorelov型内估计方法调整，以在右端项为一般形式时获得 $n-2$ 情形的全局估计？
• RQ5 能否在不假设右端项凸性、仅要求 $k$-凸性的情况下证明曲率估计？

主要发现

• 为右端项依赖于梯度或法向量的一般情形，成功建立了 $n-2$ Hessian 方程的全局曲率估计，解决了长期悬而未决的问题。
• 证明表明，在定理假设下 $\kappa_{n-2}$ 从上方向有统一有界性，这对反证法论证至关重要。
• 构造了一组曲率比阈值 $\delta_r$，使得若 $\kappa_r/\kappa_1 \geq \delta_r$ 且 $\kappa_{r+1}/\kappa_1 \leq \delta_{r+1}$，则曲率估计成立。
• 该方法证明了 $\sigma_{n-2}^{ii}/\kappa_i \geq \xi_i^2$，至低阶误差项，这对最大值原理的应用至关重要。
• 结果将已知的 $k=n-1$ 情形的 $C^2$-正则性推广至 $k=n-2$，填补了 $k$-Hessian 方程理论中的关键空白。
• 曲率估计在最小假设下成立：$u \in C^2(\Omega)$，$\kappa \in \Gamma_{n-2}$，且 $\psi$ 可测且有界。