[论文解读] The Grassmannian complex and Goncharov's motivic complex in weight 4

Herbert Gangl|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文在 $$\mathbb{P}^3$$ 中八个点的格拉斯曼复形与戈恰罗夫的权重 4 动机复形之间构造了一个部分同态，定义了复形中的四个映射中的三个，并验证了最左侧映射的可积性。它表明复合映射 $f_7(4) \circ d$ 的像落在 $B_3(F) \otimes F^\times$ 中，且其 $\bigwedge^2 B_2(F)$-分量为零，并证明该映射满足可积性条件，从而可表示为权重 4 的多重对数函数，尽管完整同态的显式公式仍为开放问题。

ABSTRACT

For a field $F$ and a given integer $n>1$, Goncharov has given a complex $Γ_F(n)$ which he calls motivic and which he expects to rationally compute the weight $n$ motivic cohomology of $ ext{Spec }F$, and hence its algebraic $K$-groups in Adams weight $n$, and he was also led to---conjecturally quasiisomorphic---`thickened' complexes thereof. These complexes involve tensor products of higher Bloch groups, the latter having been linked to the geometry of certain configurations in Goncharov's proof of Zagier's Polylogarithm Conjecture for weight 3, and an analogous picture has long been envisioned by Goncharov for higher weight as well. We provide a partial morphism in weight 4 by giving three out of four maps for configurations in general position.

研究动机与目标

• 在权重 4 下，建立格拉斯曼复形 $C_8(4)$ 与戈恰罗夫的动机复形 $\Gamma_F(4)$ 之间的同态。
• 在复形图中定义四个映射中的三个，确保相应正方形的交换性。
• 验证复合映射 $f_7(4) \circ d$ 将 $C_8(4)$ 映射到 $B_3(F) \otimes F^\times$，且其 $\bigwedge^2 B_2(F)$-分量为零。
• 检查该复合映射是否满足可积性条件，从而可表示为权重 4 的多重对数函数。
• 为完整同态奠定基础，以通过动机上同调证明扎吉耶尔关于 $L$-值的猜想。

提出的方法

• 利用 $\mathbb{P}^3(F)$ 中八个点的构型（在 $\mathrm{PGL}_4(F)$ 作用下等价类），定义具有交错微分 $d$ 的格拉斯曼复形 $C_N(4)$。
• 应用戈恰罗夫对交比、三重比以及点构型的 $4\times4$ 行列式的记号，定义复形之间的映射。
• 利用函数方程和行列式的对称性，验证 FE 2、FE 3 和 FE 4 等关系，确保复形结构的一致性。
• 利用对 dilogarithm 的五重关系及其推广，分析 $B_2(F)$ 和 $B_3(F)$ 中的关系，特别是经过交错和对称操作后的情形。
• 应用 Dan [2] 的结果，将权重 4 的多重对数函数约化为 $Li_{3,1}$ 和 $Li_4$ 的组合，并利用近期工作 [5] 将 $I_{3,1}$ 项进一步约化为仅含 $Li_4$ 的形式。
• 通过证明其 $\bigwedge^2 B_2(F)$-分量为零，验证 $f_7(4) \circ d$ 的可积性，从而表明其来自一个良定义的上同调类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在权重 4 下，从格拉斯曼复形 $C_8(4)$ 构造到戈恰罗夫的动机复形 $\Gamma_F(4)$ 的同态？
• RQ2 复形图中的四个映射中的三个是否可交换？能否利用交比和行列式显式定义它们？
• RQ3 复合映射 $f_7(4) \circ d$ 是否将 $C_8(4)$ 映射到 $B_3(F) \otimes F^\times$，且其 $\bigwedge^2 B_2(F)$-分量为零？
• RQ4 映射 $f_7(4) \circ d$ 是否可积，从而可表示为权重 4 的多重对数函数？
• RQ5 能否定义剩余的第四映射，使整个图交换，特别是对一般构型？

主要发现

• 复合映射 $f_7(4) \circ d$ 将 $C_8(4)$ 映射到 $B_3(F) \otimes F^\times$，且其在 $\bigwedge^2 B_2(F)$ 上的贡献为零。
• 映射 $f_7(4) \circ d$ 满足可积性条件，意味着其来自一个良定义的上同调类，可用权重 4 的多重对数函数表达。
• 可积性条件使得每个 $C_8(4)$ 中的元素均可关联到一组权重 4 的多重对数函数，尽管显式公式尚不明确。
• 本文验证了复形图中四个映射中的三个是良定义的，且使相应正方形交换。
• 通过五重关系和对称性论证，证明了 FE 3 和 FE 4，确认了复形结构的一致性。
• 剩余的映射（若完成将使同态完整，并产生类似于戈恰罗夫在权重 3 中的三重比的四重比）尚未为一般构型完全构造。