[论文解读] The Gravity Duals of Modular Hamiltonians

Daniel L. Jafferis, S. Josephine Suh|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Cosmology and Gravitation Theories被引用 5

一句话总结

本文推导了全息CFT中模哈密顿量的引力对偶，表明模哈密顿量对态和微小激发的作用通过极值曲面的协变规范在体积分中编码。一个关键结果是，模哈密顿量与因果完成区域之外的时空点处的体积分算符不对易，表明尽管模哈密顿量在边界理论中仅作用于因果区域内，其在体积分中仍表现出非局域性。

ABSTRACT

In this work, we investigate modular Hamiltonians defined with respect to arbitrary spatial regions in quantum field theory states which have semi-classical gravity duals. We find prescriptions in the gravity dual for calculating the action of the modular Hamiltonian on its defining state, including its dual metric, and also on small excitations around the state. Curiously, use of the covariant holographic entanglement entropy formula leads us to the conclusion that the modular Hamiltonian, which in the quantum field theory acts only in the causal completion of the region, does not commute with bulk operators whose entire gauge-invariant description is space-like to the causal completion of the region.

研究动机与目标

• 确定具有半经典引力对偶的量子场论中模哈密顿量的体积分引力描述。
• 推导模哈密顿量在边界态及其微小激发上作用的规范。
• 研究模哈密顿量在体积分中的非局域性，尽管其在边界理论中具有因果支持。
• 探讨协变全息纠缠熵公式对模演化和因果性的意义。
• 阐明因果完成区域与极值曲面在AdS/CFT中定义模动力学的作用。

提出的方法

• 使用协变全息纠缠熵公式，将模哈密顿量与体积分中极值曲面的面积联系起来。
• 利用体积分中的线性响应理论，推导度规和外尔曲率对模哈密顿量形变的响应。
• 将模哈密顿量的作用应用于态周围的微小激发，计算由此产生的体积分算符响应。
• 通过分析极值曲面内部与边界条件的依赖关系，研究响应的因果结构。
• 使用能量-动量张量的动量空间两点函数，计算体积分中的线性响应。
• 考虑d=3时的条带区域，推导模哈密顿量对度规和外尔曲率作用的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在半经典引力对偶的体积分中实现CFT中空间区域的模哈密顿量？
• RQ2 在边界态及其微小激发上实现模演化的是哪个体积分算符？
• RQ3 为何模哈密顿量与因果完成区域之外的体积分算符不满足对易关系，尽管其在边界理论中具有因果支持？
• RQ4 体积分中的极值曲面如何编码模哈密顿量的作用？因果结构在此编码中起什么作用？
• RQ5 模哈密顿量能否被一致地定义为体积分中的光滑算符？差值 $K = H_R - H_{\bar{R}}$ 的意义是什么？

主要发现

• 模哈密顿量对边界态的作用在体积分中对应于特定的度规和外尔曲率形变，其由极值曲面的几何决定。
• 体积分度规和外尔曲率对模形变的响应是非局域的：它依赖于体积分场的整个规范不变描述，即使在区域因果完成区域之外也如此。
• 尽管模哈密顿量在边界理论中仅作用于区域的因果完成区域，它仍不与那些其整个规范不变描述位于该区域之外的体积分算符对易。
• 非对易性源于极值曲面面积泛函对体积分场的非局域耦合，导致体积分中出现非局域响应。
• 对于d=3中的条带区域，模哈密顿量对度规和外尔曲率的作用被显式计算，显示出其对边界区域形状和体积分几何的线性依赖。
• 在动量空间中推导了能量-动量张量对模形变的线性响应，证实其与共形对称性和因果性的一致性。