[论文解读] The Gray Image of Codes over Finite Chain Rings

Somphong Jitman, Patanee Udomkavanich|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 12

一句话总结

本文通过引入任意幂零指数 $e+1$ 的环上的 $(1-\beta^e)$-循环码结构，扩展了有限链环上循环码理论。它定义了一个格拉夫映射，将此类码转化为在剩余域 $\mathbb{F}_{p^k}$ 上的距离不变的准循环码，关键结果表明当 $\text{gcd}(n,p) = 1$ 时，循环码与 $(1+\beta^e)$-循环码的格拉夫像在置换等价意义下为 $\mathbb{F}_{p^k}$ 上索引为 $p^{ke-1}$ 的准循环码。

ABSTRACT

The results of J. F. Qiann et al. [4] on $(1-γ)$-cyclic codes over finite chain rings of nilpotency index 2 are extended to $(1-γ^e)$-cyclic codes over finite chain rings of arbitrary nilpotency index $e+1$. The Gray map is introduced for this type of rings. We prove that the Gray image of a linear $(1 - γ^{e})$-cyclic code over a finite chain ring is a distance-invariant quasi-cyclic code over its residue field. When the length of codes and the characteristic of a ring are relatively prime, the Gray images of a linear cyclic code and a linear $(1+γ^e)$-cyclic code are permutatively to quasi-cyclic codes over its residue field.

研究动机与目标

• 将 Qian 等人关于幂零指数为 2 的环上 $(1-\beta)$-循环码的结果推广至任意幂零指数 $e+1$ 的环。
• 为任意幂零指数 $e+1$ 的有限链环定义广义格拉夫映射。
• 表征 $(1-\beta^e)$-循环码的格拉夫像，并证明其为剩余域上的距离不变准循环码。
• 在 $\text{gcd}(n,p) = 1$ 条件下，研究循环码与 $(1+\beta^e)$-循环码的格拉夫像结构。
• 证明在此条件下，格拉夫像在置换等价意义下为 $\mathbb{F}_{p^k}$ 上索引为 $p^{ke-1}$ 的准循环码。

提出的方法

• 在幂零指数为 $e+1$ 的有限链环 $R$ 上引入 $(1-\beta^e)$-循环码，其由移位算子 $\nu$ 定义，将 $(r_0,\dots,r_{n-1})$ 映射为 $((1-\beta^e)r_{n-1}, r_0, \dots, r_{n-2})$。
• 通过元素在 $R$ 中的多项式表示 $r = \textstyle\bigoplus_{i=0}^e a_i(r)\beta^i$ 定义格拉夫映射 $\rho: R^n \to \mathbb{F}_{p^k}^{p^{ke}n}$，其中 $a_i(r) \to \tilde{a}_i(r)$ 为到 $\mathbb{F}_{p^k}^n$ 的典范映射。
• 通过连接变换后的分量构造格拉夫像：$\rho(\mathbf{r}) = \bigoplus_{j=0}^{p^{ke}-1} \bigoplus_{i=0}^{n-1} \text{coefficients of } \text{poly}(\tilde{a}_0(r_j), \dots, \tilde{a}_e(r_j))$。
• 利用同构 $\mathbb{F}_{p^k} \to \mathbb{Z}_p[\beta]/\beta^k$ 将 $\tilde{a}_i(r_j)$ 定义为 $\mathbb{F}_{p^k}^n$ 中的向量，从而在 $\mathbb{F}_{p^k}^{p^{ke}n}$ 中构造完整像。
• 对像应用移位算子 $\tau^{\bigotimes p^{ke-1}}$，以证明其在循环移位下不变，从而证明像为准循环码。
• 利用自同态 $\beta \to 1 + 2jn'\beta^e$ 分析 $\beta^2$ 对码字的作用，并将其与像的移位结构关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 在幂零指数为 $e+1$ 的有限链环上，$(1-\beta^e)$-循环码的格拉夫像具有何种结构？
• RQ2 格拉夫映射如何变换线性 $(1-\beta^e)$-循环码？其像是否为剩余域上的准循环码？
• RQ3 在何种条件下，$R$ 上的循环码的格拉夫像在置换等价意义下为 $\mathbb{F}_{p^k}$ 上的准循环码？
• RQ4 当 $\text{gcd}(n,p) = 1$ 时，$(1+\beta^e)$-循环码的格拉夫像具有何种结构？
• RQ5 能否以移位算子和索引 $p^{ke-1}$ 的形式表征格拉夫像的准循环结构？

主要发现

• 在幂零指数为 $e+1$ 的有限链环上，线性 $(1-\beta^e)$-循环码的格拉夫像为剩余域 $\mathbb{F}_{p^k}$ 上的距离不变准循环码。
• 当 $\text{gcd}(n,p) = 1$ 时，$R$ 上线性循环码的格拉夫像在置换等价意义下为 $\mathbb{F}_{p^k}$ 上索引为 $p^{ke-1}$、长度为 $p^{ke}n$ 的准循环码。
• 在相同条件下，$R$ 上长度为 $n$ 的线性 $(1+\beta^e)$-循环码的格拉夫像也等价于 $\mathbb{F}_{p^k}$ 上索引为 $p^{ke-1}$、长度为 $p^{ke}n$ 的准循环码。
• 证明依赖于 $\mathbb{F}_{p^k}$ 与 $\mathbb{Z}_p[\beta]/\beta^k$ 之间的同构，从而通过系数逐项提升与连接构造格拉夫映射。
• 通过算子 $\tau^{\bigotimes p^{ke-1}}$ 保持像的移位结构，其在大小为 $pn$ 的块上表现为循环移位，从而确认其准循环性质。
• 利用自同态 $\beta^2 \to 1 + 2jn'\beta^e$ 证明 $\rho \times \rho$ 的像与准循环码的移位结构一致，从而证明等价性。