[论文解读] The Gromov-Hausdorff distance between ultrametric spaces: its structure and computation

Facundo Mémoli, Zane Smith+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2021

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 33被引用 7

一句话总结

本文提出了一种适用于有限超度量空间的 Gromov-Hausdorff 距离的新变体，记为 $u_{\mathrm{GH}}$，证明其尽管在标准 $d_{\mathrm{GH}}$ 为 NP-难的情况下，仍可在多项式时间内计算。通过利用超度量空间的结构特性，并引入基于倍增常数的固定参数可追踪算法，作者识别出 $d_{\mathrm{GH}}$ 的计算可追踪子类，这是该问题首个此类精确算法。

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff distance ($d_\mathrm{GH}$) provides a natural way of quantifying the dissimilarity between two given metric spaces. It is known that computing $d_\mathrm{GH}$ between two finite metric spaces is NP-hard, even in the case of finite ultrametric spaces which are highly structured metric spaces in the sense that they satisfy the so-called \emph{strong triangle inequality}. Ultrametric spaces naturally arise in many applications such as hierarchical clustering, phylogenetics, genomics, and even linguistics. By exploiting the special structures of ultrametric spaces, (1) we identify a one parameter family $\{d_\mathrm{GH}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$ of distances defined in a flavor similar to the Gromov-Hausdorff distance on the collection of finite ultrametric spaces, and in particular $d_\mathrm{GH}^{(1)} =d_\mathrm{GH}$. The extreme case when $p=\infty$, which we also denote by $u_\mathrm{GH}$, turns out to be an ultrametric on the collection of ultrametric spaces. Whereas for all $p\in[1,\infty)$, $d_\mathrm{GH}^{(p)}$ yields NP-hard problems, we prove that surprisingly $u_\mathrm{GH}$ can be computed in polynomial time. The proof is based on a structural theorem for $u_\mathrm{GH}$ established in this paper; (2) inspired by the structural theorem for $u_\mathrm{GH}$, and by carefully leveraging properties of ultrametric spaces, we also establish a structural theorem for $d_\mathrm{GH}$ when restricted to ultrametric spaces. This structural theorem allows us to identify special families of ultrametric spaces on which $d_\mathrm{GH}$ is computationally tractable. These families are determined by properties related to the doubling constant of metric space. Based on these families, we devise a fixed-parameter tractable (FPT) algorithm for computing the exact value of $d_\mathrm{GH}$ between ultrametric spaces. We believe ours is the first such algorithm to be identified.

研究动机与目标

• 为解决在超度量空间背景下有限度量空间之间 Gromov-Hausdorff 距离计算的 NP-难问题，尤其关注系统发育学和层次聚类中常见的超度量空间。
• 研究超度量空间上 Gromov-Hausdorff 距离的变体是否可在多项式时间内计算。
• 识别出标准 Gromov-Hausdorff 距离在计算上可追踪的超度量空间子集。
• 基于结构特性，开发用于精确计算超度量空间之间 $d_{\mathrm{GH}}$ 的固定参数可追踪（FPT）算法。

提出的方法

• 在有限超度量空间上引入一参数距离族 $\{d_{\mathrm{GH}}^{(p)}\}_{p\in[1,\infty]}$，其中 $d_{\mathrm{GH}}^{(1)} = d_{\mathrm{GH}}$，$p=\infty$ 情况记为 $u_{\mathrm{GH}}$。
• 证明 $u_{\mathrm{GH}}$ 是紧致超度量空间上的一种超度量，并利用超度量空间特有的结构定理，实现多项式时间计算。
• 建立 $d_{\mathrm{GH}}$ 在限制于超度量空间时的结构定理，实现向更小实例的递归约化。
• 定义一类超度量空间 $\mathcal{U}_2(\varepsilon, \gamma)$，其倍增常数有界且扭曲度受控，支持参数化复杂度分析。
• 设计一种用于计算 $d_{\mathrm{GH}}(X,Y)$ 的固定参数可追踪（FPT）算法，时间复杂度为 $O(n^2 \log^3 n \cdot 2^{2\gamma} (2\gamma)^{2\gamma+2})$，其中 $\gamma$ 为与倍增常数相关的参数。
• 使用二分查找和基于对应关系的技术，在有序距离层级上计算两个超度量空间之间存在 $\varepsilon$-对应关系的最小 $\varepsilon$。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管原始 $d_{\mathrm{GH}}$ 为 NP-难，是否可在多项式时间内计算有限超度量空间上 Gromov-Hausdorff 距离的变体？
• RQ2 是否存在超度量空间的子集，使得标准 Gromov-Hausdorff 距离在计算上是可追踪的？
• RQ3 超度量空间的哪些结构特性可实现 $d_{\mathrm{GH}}$ 的高效计算？
• RQ4 能否将超度量空间的倍增常数用作参数，以设计 $d_{\mathrm{GH}}$ 的固定参数可追踪算法？
• RQ5 Gromov-Hausdorff 距离与超度量结构之间存在何种关系，特别是在球包含和等价类方面？

主要发现

• 当 $p=\infty$ 时，Gromov-Hausdorff 距离的变体 $u_{\mathrm{GH}}$ 是紧致超度量空间上的超度量，且可在多项式时间内计算。
• 标准 Gromov-Hausdorff 距离 $d_{\mathrm{GH}}$ 的计算是 NP-难的，即使对于有限超度量空间也是如此，此结论由 Schmiedl（2010）确立。
• 关于 $u_{\mathrm{GH}}$ 的结构定理可实现距离计算的递归分解，将其转化为超度量空间上的更小子问题。
• 对于倍增常数 $K$ 和扭曲度 $\delta$ 有界的超度量空间，球内不同 $\varepsilon$-等价类的数量受 $K^{\log_2((2\delta + 4\varepsilon)/s) + 1}$ 限制，其中 $s$ 为分离常数。
• 开发出一种用于计算 $d_{\mathrm{GH}}(X,Y)$ 的固定参数可追踪（FPT）算法，时间复杂度为 $O(n^2 \log^3 n \cdot 2^{2\gamma} (2\gamma)^{2\gamma+2})$，其中 $\gamma$ 为与倍增常数相关的参数。
• 该算法通过在距离层级上使用二分查找和对应关系检查，利用结构分解将问题约化为更小实例，是首个已知的用于超度量空间上精确 $d_{\mathrm{GH}}$ 计算的 FPT 算法。