[论文解读] The Gross-Prasad conjecture and local theta correspondence

Wee Teck Gan, Atsushi Ichino|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 8

一句话总结

该论文通过利用局部θ对应将傅里叶-雅可比情形约化为先前已解决的贝塞尔情形，建立了酉群上的格罗茨-普拉萨德猜想的傅里叶-雅可比情形。它利用亚瑟的重数公式，证明了普拉萨德关于（几乎）等秩酉对偶对的局部θ对应两个猜想，这是该全局互反律在局部朗兰兹对应背景下首次具体的实际应用之一。

ABSTRACT

We establish the Fourier-Jacobi case of the local Gross-Prasad conjecture for unitary groups, by using local theta correspondence to relate the Fourier-Jacobi case with the Bessel case established by Beuzart-Plessis. To achieve this, we prove two conjectures of D. Prasad on the precise description of the local theta correspondence for (almost) equal rank unitary dual pairs in terms of the local Langlands correspondence.

研究动机与目标

• 建立非阿基米德局部域上酉群的格罗茨-普拉萨德猜想的傅里叶-雅可比情形。
• 证明D. 普拉萨德关于（几乎）等秩酉对偶对的局部θ对应的精确描述的两个猜想。
• 应用亚瑟的重数公式，实现全局互反律在局部朗兰兹对应背景下的具体应用。
• 通过θ对应将已知的贝塞尔情形结果推广至傅里叶-雅可比情形。

提出的方法

• 利用局部θ对应将格罗茨-普拉萨德猜想的傅里叶-雅可比情形与先前已由贝乌扎特-普莱西斯建立的贝塞尔情形联系起来。
• 通过分析在局部朗兰兹对应下维根L-包和分量群的结构，证明普拉萨德关于局部θ对应的猜想。
• 应用亚瑟的重数公式以控制自守L-包中表示的重数，从而实现对θ提升的精确刻画。
• 利用带有维根精化形式的增强局部朗兰兹对应，通过L-参数及其关联特征标来标记表示。
• 利用扭曲迹公式的稳定化以及瓦尔德斯普格和莫林-瓦尔德斯普格的结果，确保酉群的朗兰兹对应的有效性。
• 将标准L-函数在s=1处的解析性作为典型性与Hom空间非零的判据，将表示论条件与L-函数行为联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$G_n$的不可约光滑表示$\pi$，何时有$\operatorname{Hom}_{\Delta H_n}(\pi, \omega_{\psi,\chi,W_n})$为零或非零？
• RQ2 局部θ对应如何精确描述格罗茨-普拉萨德猜想中贝塞尔情形与傅里叶-雅可比情形下表示之间的关系？
• RQ3 在局部朗兰兹对应下，（几乎）等秩酉对偶对的局部θ对应的确切描述是什么？
• RQ4 如何利用亚瑟的重数公式验证普拉萨德在等秩情形下关于θ提升的猜想？

主要发现

• 在特征为零的非阿基米德局部域上，酉群的格罗茨-普拉萨德猜想的傅里叶-雅可比情形已确立。
• 本文证明了局部θ对应在贝塞尔情形与傅里叶-雅可比情形的相关表示之间构成双射，从而将FJ情形约化为已知的贝塞尔情形。
• 通过局部朗兰兹对应与亚瑟的重数公式，验证了D. 普拉萨德关于（几乎）等秩酉对偶对的局部θ对应的两个猜想。
• 该证明展示了亚瑟重数公式在局部朗兰兹对应背景下的具体应用，标志着在表示论中使用全局互反律的重要进展。
• Hom空间$\operatorname{Hom}_{\Delta H_n}(\pi, \nu)$的非零性由特定标准L-函数在s=1处的解析性所刻画，将表示论与L-函数理论联系起来。
• 结果确认了Hom空间的维数至多为一，其非零条件由L-参数及其关联分量群决定。