[论文解读] The Grothendieck group of algebraic stacks

Torsten Ekedahl|ArXiv.org|Mar 18, 2009

Commutative Algebra and Its Applications被引用 48

一句话总结

本文为具有仿射稳定子的代数堆栈引入了一个格罗滕迪克群，证明其同构于代数簇格罗滕迪克群的局部化。通过上同调与紧支集，将欧拉示性数推广至堆栈，并构造了在特征零下能区分欧拉示性数相同类的不变量，尤其在特征零下表现显著。一个关键结果是：在完成的局部化代数簇格罗滕迪克环中，PSLₙ-主丛的类不等于基空间与PSLₙ类的乘积，从而否定了朴素的可乘性。

ABSTRACT

We introduce a Grothendieck group of algebraic stacks (with affine stabilisers) analogous to the Grothendieck group of algebraic varieties. We then identify it with a certain localisation of the Grothendieck group of algebraic varieties. Several invariants of elements in this group are discussed. The most important is an extension of the Euler characteristic (of cohomology with compact support) but in characteristic zero we introduce invariants which are able to distinguish between classes with the same Euler characteristic. These invariants are actually defined on the completed localised Grothendieck ring of varieties used in motivic integration. In particular we show that there are $\PSL_n$-torsors of varieties whose class in the completed localised Grothendieck ring of varieties is not the product of the class of the base and the class of $\PSL_n$.

研究动机与目标

• 为具有仿射稳定子的代数堆栈定义格罗滕迪克群，其形式与代数簇的标准格罗滕迪克群类似。
• 建立该堆栈格罗滕迪克群与代数簇格罗滕迪克群的局部化之间的同构关系。
• 通过动机环的完成局部化，将带紧支集的欧拉示性数扩展至代数堆栈。
• 在特征零下构造不变量，以区分欧拉示性数相同但类不同的堆栈，尤其在特征零下表现显著。
• 证明在动机环中，PSLₙ-主丛的类不等于基空间与PSLₙ类的乘积，从而挑战朴素可乘性。

提出的方法

• 为域 $ \mathbf{k} $ 上的代数堆栈定义格罗滕迪克群 $ K_0(\mathrm{Stck}_{\mathbf{k}}) $，其类模去剪裁关系。
• 证明 $ K_0(\mathrm{Stck}_{\mathbf{k}}) $ 同构于 $ K_0(\mathrm{Spc}_{\mathbf{k}}) $，即代数簇的格罗滕迪克群的局部化。
• 通过类映射与混合伽罗瓦表示或混合霍奇结构的格罗滕迪克环的完成，构造堆栈的欧拉示性数。
• 在多项式增长元素的子环上引入更强的拓扑，以确保有限域上弗罗贝尼乌斯迹的连续性与良定义性。
• 利用完成环上的弗罗贝尼乌斯迹，证明其等于堆栈的点计数，从而建立动机不变量与算术不变量之间的联系。
• 将蒲宁等人提出的不变量应用于完成环，以检测仅靠欧拉示性数无法区分的非平凡类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以一种允许局部化与动机点计数的方式定义代数堆栈的格罗滕迪克群？
• RQ2 带紧支集的欧拉示性数能否自然地推广至代数堆栈？其与上同调不变量有何关系？
• RQ3 在特征零下，是否存在能区分具有相同欧拉示性数的堆栈类的不变量？
• RQ4 在动机环中，PSLₙ-主丛的类是否等于基空间与PSLₙ类的乘积？
• RQ5 能否通过堆栈的格罗滕迪克环使动机点计数严格化？它是否能恢复如点计数等算术数据？

主要发现

• 具有仿射稳定子的代数堆栈的格罗滕迪克群同构于代数簇格罗滕迪克群的局部化。
• 带紧支集的欧拉示性数可推广至堆栈，并与拉斯兹洛与奥尔森的定义一致。
• 在有限域上，完成动机环上的弗罗贝尼乌斯迹计算了堆栈的点计数。
• 在特征零下，如蒲宁的不变量等可推广至完成环，并能检测仅靠欧拉示性数无法区分的类。
• 在完成的局部化代数簇格罗滕迪克环中，PSLₙ-主丛的类不等于基空间与PSLₙ类的乘积，表明其不可乘性。
• 对具有度数3极化结构的光滑射影型1曲线模堆栈，其类为 $ \mathbb{L} $，通过与带标记点的曲线堆栈比较得出。