[论文解读] The Grothendieck-Katz Conjecture for certain locally symmetric varieties

Benson Farb, Mark Kisin|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过应用马尔格里斯的正规子群定理和李群离散子群的刚性结果，证明了某些局部对称流形（包括当 $g > 1$ 时阿贝尔簇的模空间 $τ\mathcal{A}_g$）的格罗滕迪克-卡茨 $p$-曲率猜想。关键结果表明，对几乎所有素数取模后 $p$-曲率消失，意味着有限单值群，从而得到代数解，适用于此类流形上的一类广泛连接。

ABSTRACT

Using Margulis's results on lattices in semisimple Lie groups, we prove the Grothendieck-Katz $p$-Curvature Conjecture for certain locally symmetric varieties, including the moduli space of abelian varieties ${\cal A}_g$ when $g > 1.$

研究动机与目标

• 证明局部对称流形上格罗滕迪克-卡茨 $p$-曲率猜想，其 $Σ$-秩 $\geq 1$ 且 $Σ$-秩 $\geq 2$。
• 将该猜想的已知情形从可解单值群或皮卡德-富克斯方程扩展至非交换基本群的情形。
• 将算术格子理论中的刚性定理应用于微分伽罗瓦理论与 $p$-曲率不变量。
• 证明对于此类流形，对几乎所有素数取模后 $p$-曲率消失，意味着有限单值群，从而得到代数解。

提出的方法

• 利用马尔格里斯关于半单李群中不可约格子的正规子群定理，约束单值表示。
• 将连接 $(V, \nabla)$ 模素数 $\mathfrak{p}$，得到有限域上的 $p$-曲率映射 $\psi_p(V/\mathfrak{p}V, \nabla)$。
• 应用卡茨的结果：$p$-曲率消失蕴含正则奇点及边界除子周围的有限局部单值群。
• 利用马尔格里斯超刚性，将算术群的表示实现为典型群的自守丛中的子表示。
• 利用安德烈对卡茨结果在皮卡德-富克斯方程上的推广，证明由此类系统生成的 Tannakian 范畴中单值群的有限性。
• 将问题约化为：通过嵌入典型群并利用 $\tilde{G}^{\operatorname{der}}$ 的连通性，证明单值表示可分解为有限群的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 格罗滕迪克-卡茨 $p$-曲率猜想是否对具有非交换基本群的局部对称流形成立？
• RQ2 能否利用算术群的刚性定理，从 $p$-曲率消失推出单值群的有限性？
• RQ3 对哪些局部对称流形，$p$-曲率对几乎所有素数取模后消失，能推出代数解？
• RQ4 当 $p$-曲率消失时，此类流形上连接的 Tannakian 伽罗瓦群是否有限？

主要发现

• 当 $G$ 的每个 $Σ$-单因数满足 $Σ$-秩 $\geq 1$ 且 $Σ$-秩 $\geq 2$ 时，格罗滕迪克-卡茨 $p$-曲率猜想对所有局部对称流形 $M = \Gamma \backslash G(\mathbb{R})^+ / K$ 上的连接成立。
• 当 $g > 1$ 时，该猜想对阿贝尔簇的模空间 $\mathcal{A}_g$ 成立，此情形具有非交换基本群。
• 对几乎所有素数取模后 $p$-曲率消失，意味着单值表示具有有限像，因此连接在某个有限 étale 覆盖上变为平凡。
• 在将算术群 $\Gamma$ 替换为有限指数子群后，单值表示可分解为有限群的表示，这是由于 $\Gamma$ 在 $\tilde{G}^{\operatorname{der}}$ 中的 Zariski 稠密性。
• 对于 $G$ 为 $A, B, C, D$ 型且 $Σ$-秩 $\geq 2$ 的情形，通过嵌入 $\mathrm{Sp}_{2g}$ 并应用安德烈关于动机伽罗瓦群的结果，该猜想得证。
• 该证明依赖于 $\tilde{G}^{\operatorname{der}}$ 的连通性与半单性，因此表示上的标量作用意味着单值群的平凡性。