[论文解读] The group of automorphisms of the algebra of one-sided inverses of a polynomial algebra

V. V. Bavula|ArXiv.org|Mar 17, 2009

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文确定了通过向 $n$ 个变量的多项式代数附加单边逆元构造的代数 $\sigma_n$ 的完整自同构群。它表明自同构群 $G_n$ 是半直积 $S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$，其中内自同构包含 $\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n-1}$ 的副本，并引入了一个类似于雅可比猜想中的同态的全局行列式映射。

ABSTRACT

The algebra $\mS_n$ in the title is obtained from a polynomial algebra $P_n$ in $n$ variables by adding commuting, {\em left} (but not two-sided) inverses of the canonical generators of $P_n$. Ignoring non-Noetherian property, the algebra $\mS_n$ belongs to a family of algebras like the Weyl algebra $A_n$ and the polynomial algebra $P_{2n}$. The group of automorphisms $G_n$ of the algebra $\mS_n$ is found: $$ G_n=S_n\ltimes \mT^n\ltimes \Inn (\mS_n) \supseteq S_n\ltimes \mT^n\ltimes \underbrace{\GL_\infty (K)\ltimes... \ltimes \GL_\infty (K)}_{2^n-1 { m times}}=:G_n' $$ where $S_n$ is the symmetric group, $\mT^n$ is the $n$-dimensional torus, $\Inn (\mS_n)$ is the group of inner automorphisms of $\mS_n$ (which is huge), and $\GL_\infty (K)$ is the group of invertible infinite dimensional matrices. This result may help in understanding of the structure of the groups of automorphisms of the Weyl algebra $A_n$ and the polynomial algebra $P_{2n}$. An analog of the {\em Jacobian homomorphism}: $\Aut_{K-{ m alg}}(P_{2n}) a K^*$, so-called, the {\em global determinant} is introduced for the group $G_n'$ (notice that the algebra $\mS_n$ is {\em noncommutative} and neither left nor right Noetherian).

研究动机与目标

• 确定通过向多项式代数 $P_n$ 附加单边逆元得到的代数 $\mathbb{S}_n$ 的完整自同构群。
• 理解 $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$ 的结构，特别是其非诺特性与非整环性质。
• 尽管 $\mathbb{S}_n$ 缺乏左或右诺特性，仍为 $\mathbb{S}_n$ 构造雅可比同态的类比。
• 分析自同构群作用下 $\mathbb{S}_n$ 中素理想与幂等理想稳定子的结构。
• 阐明内自同构的作用及其与 $\mathbb{S}_n$ 中无限维一般线性群的关系。

提出的方法

• 代数 $\mathbb{S}_n$ 通过生成元 $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$ 及关系 $y_ix_i = 1$ 和其余所有换位子为零来定义。
• 自同构群 $G_n$ 被分解为 $S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$，其中 $S_n$ 置换变量，$\mathbb{T}^n$ 对其进行缩放。
• 通过形如 $\sigma_p(y_i) = y_i + p_i E_{00}(i)$ 的自同态构造内自同构，其中对 $p_i$ 的条件确保了交换性。
• 在 $G_n$ 的子群 $G_n'$ 上引入一个全局行列式映射，将雅可比行列式的概念推广至非诺特代数。
• 通过自同构在 $\mathbb{S}_n$ 的素谱上的作用，分析素理想与幂等理想稳定子的结构。
• 论文使用 $\mathbb{S}_n$ 在 $V^{\otimes n}$ 上的张量积实现作为平移算子的同态，以分析自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $P_n$ 的单边逆元代数 $\mathbb{S}_n$，其自同构群 $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$ 的完整结构是什么？
• RQ2 尽管 $\mathbb{S}_n$ 是非诺特代数，其自同构群与 $A_n$（威利代数）和 $P_{2n}$（多项式代数）的自同构群相比有何异同？
• RQ3 鉴于 $\mathbb{S}_n$ 的非整环与非诺特结构，能否为其定义一个类比雅可比的同态？
• RQ4 在 $\mathrm{Aut}_{K\text{-alg}}(\mathbb{S}_n)$ 中，内自同构的作用是什么？它们与无限维一般线性群有何关系？
• RQ5 自同构如何作用于 $\mathbb{S}_n$ 的素理想与幂等理想？这些理想的稳定子是什么？

主要发现

• 代数 $\mathbb{S}_n$ 的自同构群 $G_n$ 同构于 $S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes \mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$，其中 $\mathrm{Inn}(\mathbb{S}_n)$ 包含一个同构于 $\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n - 1}$ 的子群。
• $\mathbb{S}_n$ 既非左诺特也非右诺特，且不是整环，尽管其克鲁尔维数与盖尔范德-基里洛夫维数与 $P_{2n}$ 和 $A_n$ 相同，但其性质仍不同。
• 在子群 $G_n' = S_n \ltimes \mathbb{T}^n \ltimes (\mathrm{GL}_\infty(K)^{2^n - 1})$ 上定义了全局行列式映射，作为雅可比同态的类比。
• $\mathrm{st}(x_1,\dots,x_n)$ 的自同态幺半群由满足 $p_i \in K[x_1,\dots,x_n]$ 的映射 $\sigma_p$ 组成，该幺半群是阿贝尔的，但除非满足条件 (64)，否则不全由自同构构成。
• 对 $\mathbb{S}_n$ 中素理想与幂等理想的稳定子进行了分析，表明自同构在群作用下保持了某些理想结构。
• 论文证明了 $\mathrm{st}(x_1,\dots,x_n) \supsetneq \prod_{i=1}^n \mathrm{st}(x_i)$，表明自同态幺半群严格大于单变量自同态幺半群的乘积。