[论文解读] The Group of Hamiltonian Homeomorphisms in the L^∞-norm

Stefan Müller|arXiv (Cornell University)|May 10, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文证明了在辛流形上，通过 L∞-霍弗范数定义的哈密顿同胚群与通过 L(1,∞)-霍弗范数定义的标准群完全一致。通过分析 L∞-范数下哈密顿路径的拓扑与度量性质，作者解决了欧和麦克杜夫提出的问题，证明尽管范数选择不同，这两种哈密顿同胚的定义是等价的。

ABSTRACT

The group Hameo (M,ω) of Hamiltonian homeomorphisms of a connected symplectic manifold (M,ω) was defined and studied in [7] and further in [6]. In these papers, the authors consistently used the L(1,∞)-Hofer norm (and not the L∞-Hofer norm) on the space of Hamiltonian paths (see below for the definitions). A justification for this choice was given in [7]. In this article we study the L∞-case. In view of the fact that the Hofer norm on the group Ham (M,ω) of Hamiltonian diffeomorphisms does not depend on the choice of the L(1,∞)-norm vs. the L∞-norm [9], Y.-G. Oh and D. McDuff (private communications) asked whether the two notions of Hamiltonian homeomorphisms arising from the different norms coincide. We will give an affirmative answer to this question in this paper.

研究动机与目标

• 研究通过 L∞-霍弗范数定义的哈密顿同胚群是否与通过 L(1,∞)-霍弗范数定义的标准群一致。
• 解决由 Y.-G. 欧和 D. 麦克杜夫提出的基础性问题，即哈密顿同胚群是否依赖于霍弗型范数的选择。
• 阐明在辛几何中，L∞-范数下哈密顿路径的拓扑与度量结构。
• 为使用 L∞-范数定义哈密顿同胚提供严格的理论依据，使其与现有理论保持一致。

提出的方法

• 分析配备 L∞-霍弗范数的哈密顿路径空间，重点关注一致收敛性和有界性性质。
• 比较 L∞-范数与 L(1,∞)-范数在哈密顿路径空间上诱导的拓扑结构。
• 利用文献 [9] 中已确立的结果，即霍弗范数在 Ham(M,ω) 上对 L(1,∞) 与 L∞ 范数的选择具有不变性，以弥合两者之间的差距。
• 应用文献 [7] 和 [6] 中关于群 Hameo(M,ω) 的结果，将范数不变性推广至同胚情形。
• 采用泛函分析技术，研究 L∞-范数下哈密顿路径的收敛性与闭包性质。
• 证明在 L∞-范数下，哈密顿微分同胚的闭包与在 L(1,∞)-范数下的闭包相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过 L∞-霍弗范数定义的哈密顿同胚是否与通过 L(1,∞)-霍弗范数定义的哈密顿同胚一致？
• RQ2 哈密顿同胚群 Hameo(M,ω) 是否独立于哈密顿路径空间上霍弗型范数的选择？
• RQ3 是否可以一致地使用 L∞-范数来定义哈密顿同胚，而不会改变所得到的群？
• RQ4 L∞-范数与 L(1,∞)-范数在哈密顿路径空间上诱导的拓扑之间存在何种关系？
• RQ5 L∞-范数是否保持了哈密顿同胚的本质几何与动力学性质？

主要发现

• 通过 L∞-霍弗范数定义的哈密顿同胚群与通过 L(1,∞)-霍弗范数定义的标准群完全相同。
• 在连通辛流形上，选择 L∞ 范数还是 L(1,∞) 范数，不会影响所得到的哈密顿同胚群。
• 在 L∞-范数下，哈密顿微分同胚的拓扑闭包与在 L(1,∞)-范数下的闭包一致。
• 该结果证实了哈密顿同胚概念在不同范数结构下的鲁棒性。
• 等价性结果支持了哈密顿同胚理论在不同分析框架下的内在一致性。
• 研究结果解决了 Y.-G. 欧和 D. 麦克杜夫关于哈密顿同胚情形下范数独立性的问题。