[论文解读] The group of inertial automorphisms of an abelian group

Ulderico Dardano, Silvana Rinauro|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文研究了阿贝尔群 A 的惯性自同构群 IAut(A)，证明其为幂零阶为局部有限的群，存在一个幂零阶的正规子群 Γ，使得 IAut(A)/Γ 局部有限，且 Γ′ 是一个所有子群在 Γ 中正规的阿贝尔周期子群。当 A 为周期群时，IAut(A) 是阿贝尔群-（局部有限），但一般情况下并非（局部幂零）-（局部有限），反例为 A = ℤ(p∞) ⊕ ℚp。

ABSTRACT

We study the group $IAut(A)$ generated by the inertial automorphisms of an abelian group $A$, that is, automorphisms $γ$ with the property that each subgroup $H$ of $A$ has finite index in the subgroup generated by $H$ and $Hγ$. Clearly, $IAut(A)$ contains the group $FAut(A)$ of finitary automorphisms of $A$, which is known to be locally finite. In a previous paper, we showed that $IAut(A)$ is (locally finite)-by-abelian. In this paper, we show that $IAut(A)$ is also metabelian-by-(locally finite). In particular, $IAut(A)$ has a normal subgroup $Γ$ such that $IAut(A)/Γ$ is locally finite and $Γ'$ is an abelian periodic subgroup whose all subgroups are normal in $Γ$. In the case when $A$ is periodic, $IAut(A)$ results to be abelian-by-(locally finite) indeed, while in the general case it is not even (locally nilpotent)-by-(locally finite). Moreover, we provide further details about the structure of $IAut(A)$ in some other cases for $A$.

研究动机与目标

• 刻画阿贝尔群 A 的惯性自同构群 IAut(A) 的结构。
• 确定 IAut(A) 是否为阿贝尔群-（局部有限），此问题源于已知的有限型自同构群 FAut(A) 具有阿贝尔群-（局部有限）性质。
• 分析稳定子群与共轭作用在理解 IAut(A) 的正规子群结构中的作用。
• 在特殊情形下（如 A 为周期群或具有特定无挠秩）提供 IAut(A) 的详细结构描述。

提出的方法

• 作者使用惯性自同态的概念，其定义为：对 A 的每个子群 H，有 (H + Hγ)/H 有限。
• 他们将 IAut(A) 视为由 γ₁γ₂⁻¹ 生成的群，其中 γ₁ 和 γ₂ 为惯性自同构。
• 他们构造了 IAut(A) 的一个幂零阶正规子群 Γ，使得 IAut(A)/Γ 局部有限，且 Γ′ 是一个所有子群在 Γ 中正规的阿贝尔周期子群。
• 他们利用 A 的挠部分、可除部分与无挠部分的分解，通过研究自同构在各主分量与子群上的作用来分析。
• 他们使用半直积群 A ⋊ Aut(A) 来计算交换子并分析共轭作用。
• 他们应用 KI-群与局部有限群理论的结果，特别关注有限型与惯性自同构之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 对每个阿贝尔群 A，IAut(A) 是否为阿贝尔群-（局部有限）？
• RQ2 当 A 为周期阿贝尔群时，IAut(A) 的结构如何？
• RQ3 IAut(A) 是否可能为（局部幂零）-（局部有限），或是否存在反例？
• RQ4 惯性自同构如何作用于挠子群 T(A) 与可除子群 D(A)？
• RQ5 稳定子群在 IAut(A) 的结构中起什么作用，特别是与有限型自同构的关系如何？

主要发现

• IAut(A) 为幂零阶-（局部有限），存在正规子群 Γ，使得 IAut(A)/Γ 局部有限，且 Γ′ 是一个所有子群在 Γ 中正规的阿贝尔周期子群。
• 当 A 为周期群时，IAut(A) 为阿贝尔群-（局部有限），此情形下主问题得到肯定回答。
• 对于 A = ℤ(p∞) ⊕ ℚp，IAut(A) 不是（局部幂零）-（局部有限），从而对一般问题给出否定回答。
• IAut₁(A) 可能很大，在某些情形下 IAut₁(A)/FAut(A) 是一个基数为 2^ℵ₀ 的可除挠自由阿贝尔群。
• 存在一个阿贝尔群 A，满足 r₀(A) = 1 且对所有素数 p 有 Aₚ ≅ ℤ(p)，使得 IAut(A) = IAut₁(A) × {±1}，其中 IAut₁(A) = Σ · FAut(A)，且 Σ ≅ ∏ₚ ℤ(p)。
• 在此情形下，IAut₁(A) 的每个元素在 T(A) 上诱导出一个有限型自同构，且 Σ ∩ FAut(A) = T(Σ)，因此 Σ 不包含于 FAut(A)。