[论文解读] The growth rates of automaton groups generated by reset automata

Feyishayo Olukoya|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 6

一句话总结

本论文为由重置自动机及其相关互逆器生成的自动机群建立了无限阶的充分条件，表明此类群要么为有限群，要么包含至少秩为2的自由半群。通过使用坏对图与同步性质，作者证明了该图中存在环路意味着群阶为无限，且其增长率为 |G|ⁿ，适用于凯莱型自动机。

ABSTRACT

We give sufficient conditions for when groups generated by automata in a class $\mathcal{C}$ of transducers, which contains the class of reset automata transducers, have infinite order. As a consequence we also demonstrate that if a group generated by an automata in $\mathcal{C}$ is infinite, then it contains a free semigroup of rank at least 2. This gives a new proof, in the context of groups generated by automaton in $\mathcal{C}$, of a result of Chou showing that finitely generated elementary amenable groups either have polynomial growth or contain a free semigroup of rank at least 2.

研究动机与目标

• 确定由重置自动机生成的自动机群为无限的充分条件。
• 在自动机群的背景下，为Chou的结果提供新证明：有限生成的初等阿贝尔群要么具有多项式增长，要么包含秩至少为2的自由半群。
• 刻画自动机群的增长行为，特别是有限群凯莱机的自动机群。
• 分析同步互逆器中坏对图的结构，以检测无限阶。
• 建立由此类互逆器生成的无限自动机群包含秩至少为2的自由半群的结论。

提出的方法

• 定义一类包含重置自动机的互逆器类，其在某级 k 处具有同步性，且为双同步（即具有可逆逆元的同步性）。
• 为每个属于 Ḡₙ 的自动机 A 构造一个有限图 Gᵣ(A)，基于长度为 r ≥ k 的字符串上的状态转移与输出。
• 将 Gᵣ(A) 中存在环路作为群阶为无限的关键指标。
• 通过归纳法与核心互逆器分析证明：若 A 在第1级同步且满足状态可达性条件，则对所有 m 有 Core(Aᵐ) = Aᵐ。
• 利用有限群 G 的凯莱机构造，定义自动机 C(G)，并证明 (C(G))⁻¹ 满足无限增长的条件。
• 通过验证 (C(G))ⁿ 中所有状态相互可达，且该半群为自由半群，证明由 C(G) 生成的自动机群具有增长率为 |G|ⁿ。

实验结果

研究问题

• RQ1 由重置自动机生成的自动机群在何种条件下具有无限阶？
• RQ2 能否利用坏对图 Gᵣ(A) 中的环路来检测自动机群的无限阶？
• RQ3 每个由同步互逆器生成的无限自动机群是否都包含秩至少为2的自由半群？
• RQ4 由有限群的凯莱机生成的自动机群的增长率是多少？
• RQ5 同步性质与核心互逆器行为如何与自动机群的结构和增长相关联？

主要发现

• 若自动机 A ∈ Ḡₙ 的坏对图 Gᵣ(A) 中存在环路，则 A 在 Xₙ^ℤ 上作用具有无限轨道，意味着 A 具有无限阶。
• 若 Gᵣ(A) 中存在环路，则由 A 生成的自动机群为无限群，如推论1.2所述。
• 每个由属于类 𝒞（包含重置自动机）的互逆器生成的无限自动机群均包含秩至少为2的自由半群。
• 对任意有限群 G，由凯莱机 C(G) 生成的自动机群具有增长率为 |G|ⁿ，如定理6.18所示。
• (C(G))⁻¹ 满足引理6.17的条件，从而保证对所有 m 有 Core((C(G))ᵐ) = (C(G))ᵐ，这支持了增长率结果。
• (C(G))ⁿ 中的所有状态相互可达，确认了完全连通性，支持了指数增长率 |G|ⁿ。