[论文解读] The Grundy number of a graph

Zixing Tang, Baoyindureng Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本文提出了图的Grundy数的两个新上界，并证明了Nordhaus-Gaddum定理的强化版本。此外，本文还支持Zaker的猜想，即每个不含$C_4$的图$G$都满足$\Gamma(G) \geq \delta(G) + 1$，并通过该不等式为$\{P_4, C_4\}$-自由图提供了新的刻画方式。

ABSTRACT

A coloring of a graph $G=(V,E)$ is a partition $\{V_1, V_2, \ldots, V_k\}$ of $V$ into independent sets or color classes. A vertex $v\in V_i$ is a Grundy vertex if it is adjacent to at least one vertex in each color class $V_j$ for every $j<i$. A coloring is a Grundy coloring if every vertex is a Grundy vertex, and the Grundy number $\Gamma(G)$ of a graph $G$ is the maximum number of colors in a Grundy coloring. We provide two new upper bounds on Grundy number of a graph and a stronger version of the well-known Nordhaus-Gaddum theorem. In addition, we give a new characterization for a $\{P_{4}, C_4\}$-free graph by supporting a conjecture of Zaker, which says that $\Gamma(G)\geq \delta(G)+1$ for any $C_4$-free graph $G$.

研究动机与目标

• 建立图$G$的Grundy数$\Gamma(G)$的更紧致上界。
• 提出经典Nordhaus-Gaddum定理在Grundy数背景下的更强版本。
• 研究Zaker猜想的正确性，即不含$C_4$的图是否满足$\Gamma(G) \geq \delta(G) + 1$。
• 基于Grundy染色性质，为$\{P_4, C_4\}$-自由图提供新的刻画方式。

提出的方法

• 利用图的结构性质和顶点染色约束，推导$\Gamma(G)$的新上界。
• 应用组合论证，强化Grundy数的Nordhaus-Gaddum不等式。
• 分析使一个顶点成为Grundy顶点所需的邻接条件。
• 利用Grundy染色的定义——每个顶点在每个编号较低的颜色类中至少与一个顶点相邻——来分析图的结构。
• 研究不含$C_4$的图中最小度$\delta(G)$与Grundy数之间的关系。
• 利用$C_4$和$P_4$子图的缺失，推导出支持该猜想的结构约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于一般图，Grundy数$\Gamma(G)$的更紧致上界是什么？
• RQ2 在Grundy染色的背景下，如何强化Nordhaus-Gaddum定理？
• RQ3 Zaker的猜想$\Gamma(G) \geq \delta(G) + 1$对所有不含$C_4$的图是否成立？
• RQ4 $\{P_4, C_4\}$-自由图能否通过其Grundy数与最小度的关系进行刻画？

主要发现

• 本文建立了Grundy数$\Gamma(G)$的两个新上界，改进了先前的估计。
• 证明了一个更强的Nordhaus-Gaddum定理版本，细化了已知的$\Gamma(G) + \Gamma(\overline{G}})$的界。
• 作者提供了支持Zaker猜想的证据，即$\Gamma(G) \geq \delta(G) + 1$对所有不含$C_4$的图均成立。
• 该猜想与$\{P_4, C_4\}$-自由图的新刻画相关联，表明此类图满足不等式$\Gamma(G) \geq \delta(G) + 1$。
• 结果表明，$C_4$和$P_4$子图的缺失施加了一种类结构条件，可保证Grundy数相对于最小度较高。