[论文解读] The Grushin plane and quasiconformal Jacobians

William Meyerson|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 9

一句话总结

本文构建了从Grushin平面到欧几里得平面的拟共形映射，并将Grushin度量推广为拟共形映射的几何中介。证明了对于任意 $\beta \in (-2, 0]$，存在一个从 $\mathbb{R}^2$ 到高维欧几里得空间的拟对称映射，其雅可比行列式与 $|x|^\beta$ 比较等价，从而解决了平面情形下非可积权重的拟共形雅可比行列问题。

ABSTRACT

We construct a quasiconformal map from the Grushin plane to the Euclidean plane. Then, we generalize the Grushin plane slightly and explain how the Grushin plane can serve as an intermediary in dealing with quasiconformal maps on Euclidean spaces. In particular, we construct a family of quasiconformal embeddings of the Euclidean plane into larger Euclidean spaces whose Jacobians fail to be locally integrable on a line.

研究动机与目标

• 建立Grushin平面作为欧几里得空间之间拟共形映射的几何中介。
• 解决平面中非局部可积权重的拟共形雅可比行列问题，特别是 $|x|^\beta$（其中 $\beta \in (-2, -1]$）的情形。
• 将已知的关于局部可积雅可比行列的拟共形映射结果推广至奇异权重的情形。
• 证明存在拟对称映射，其雅可比行列式与 $|x|^\beta$（$\beta \in (-2, 0]$）几乎处处可比较，包括不可积情形。
• 研究绝对连续性在线性条件在拟共形雅可比行列背景下的作用，特别是针对奇异权重的情形。

提出的方法

• 将Grushin平面 $G_\alpha$ 定义为 $\mathbb{R}^2 \setminus \{x=0\}$ 关于黎曼度量 $ds^2 = dx^2 + x^{-2}dy^2$ 的度量完备化，并配备Carnot-Carathéodory距离。
• 通过 $F(x,y) = (x|x|, y)$ 构造一个从 $G$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的拟共形映射，利用弱拟对称性和距离比较证明其为拟对称。
• 将Grushin平面推广至 $G_\alpha$，其度量为 $ds^2 = dx^2 + |x|^{-\alpha}dy^2$，并定义拟共形映射 $F_\alpha(x,y) = (x|x|^{\alpha/2}, y)$。
• 利用定理1.1在[9]中的保证，构造从 $G_\alpha$ 到 $\mathbb{R}^{n_\alpha}$ 的双李普希茨嵌入 $\phi_\alpha$，其中 $n_\alpha$ 足够大。
• 通过复合映射 $H_\alpha = \phi_\alpha \circ F_\alpha^{-1}$ 构造从 $\mathbb{R}^2$ 到 $\mathbb{R}^{n_\alpha}$ 的拟对称映射，其雅可比行列式与 $|x|^{-2\alpha/(2+\alpha)}$ 比较等价。
• 令 $\alpha = -2\beta/(2+\beta)$，从而实现雅可比行列式与 $|x|^\beta$ 比较等价，其中 $\beta \in (-2, 0]$，完成构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 Grushin平面能否作为构造具有奇异雅可比行列式的欧几里得空间之间拟共形映射的几何中介？
• RQ2 对于 $\beta \in (-2, 0]$，是否存在一个拟对称映射 $\Phi_\beta: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^N$，使得其雅可比行列式几乎处处与 $|x|^\beta$ 比较等价？
• RQ3 在雅可比行列式行为类似于 $|x|^{-t}$（$t \geq 2$）时，存在非局部可积雅可比行列式的拟共形映射的条件是什么？
• RQ4 ACL条件对这类拟共形映射是否必要？是否存在非ACL映射也能实现奇异雅可比行列式？
• RQ5 对于非局部可积的权重（如 $|x|^{-2}$），能否解决拟共形雅可比行列问题？

主要发现

• 映射 $F(x,y) = (x|x|, y)$ 是从Grushin平面 $G$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的拟对称映射，确立了拟共形等价性。
• 对每个 $\alpha > 0$，广义Grushin平面 $G_\alpha$ 允许一个拟对称映射 $F_\alpha(x,y) = (x|x|^{\alpha/2}, y)$ 到 $\mathbb{R}^2$，其雅可比行列式行为受 $|x|^{\alpha/2}$ 控制。
• 复合映射 $H_\alpha = \phi_\alpha \circ F_\alpha^{-1}$ 产生了一个从 $\mathbb{R}^2$ 到 $\mathbb{R}^{n_\alpha}$ 的拟对称映射，其雅可比行列式与 $|x|^{-2\alpha/(2+\alpha)}$ 比较等价。
• 对任意 $\beta \in (-2, 0]$，令 $\alpha = -2\beta/(2+\beta)$，可得一个拟对称映射 $\Phi_\beta = H_\alpha$，其雅可比行列式几乎处处与 $|x|^\beta$ 比较等价。
• 该构造表明，即使不满足绝对连续性在线性条件，仍可能存在具有非局部可积雅可比行列式的拟共形映射（例如 $|x|^{-2}$），因为 $\mathbb{R}^3$ 中存在非ACL的拟共形映射。
• 该结果完成了对 $\mathbb{R}^2$ 中 $\beta \in (-2, 0]$ 情形下拟共形雅可比行列问题的完整刻画，仅剩 $\beta \leq -2$ 的情形尚待解决。