[论文解读] The Gysin exact sequence for $S^1$-equivariant symplectic homology

Frédéric Bourgeois, Alexandru Oancea|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 28

一句话总结

本文通过参数化 Floer 同调构造，在非等变与等变理论之间建立桥梁，为具有接触型边界且辛双曲的流形建立了 $S^1$-等变辛同调的 Gysin 正合序列。关键结果是建立了一个长正合序列，关联 $SH^a_k(W)$、$SH^{a,S^1}_k(W)$ 与 $SH^{a,S^1}_{k-2}(W)$，该序列与辛同调的典型正合序列相容，并在辛拓扑中实现了 Gysin 序列的几何实现。

ABSTRACT

We define $S^1$-equivariant symplectic homology for symplectically aspherical manifolds with contact boundary, using a Floer-type construction first proposed by Viterbo. We show that it is related to the usual symplectic homology by a Gysin exact sequence. As an important ingredient of the proof, we define a parametrized version of symplectic homology, corresponding to families of Hamiltonian functions indexed by a finite dimensional smooth parameter space.

研究动机与目标

• 通过 Viterbo 的 Floer 型方法，为具有接触型边界的辛双曲流形提供 $S^1$-等变辛同调的完整几何构造。
• 定义一种参数化版本的辛同调，作为连接非等变与等变理论的基础工具。
• 建立一个关联 $SH^a_k(W)$、$SH^{a,S^1}_k(W)$ 与 $SH^{a,S^1}_{k-2}(W)$ 的 Gysin 正合序列，证明其与现有典型正合序列的相容性。
• 证明在余切丛的自由环路空间 $\Lambda L$ 上，该 Gysin 序列与经典 Gysin 序列同构。
• 阐明强代数 Weinstein 猜想（SAWC）与强等变代数 Weinstein 猜想（EWC）之间的关系，表明 SAWC 蕴含 EWC。

提出的方法

• 通过在环路空间上使用哈密顿扰动与 $S^1$-作用构造 Floer 型链复形，实现 $S^1$-等变辛同调的定义。
• 引入一种参数化辛同调理论，其中哈密顿量是定义在有限维光滑参数空间上的族，用以实现从非等变到等变理论的过渡。
• 对参数化理论应用 Morse-Bott 技术，利用带有断裂与粘合结构的梯度与 Floer 轨道模空间。
• 通过计数 1 维模空间定义链同伦 $K = K_1 + K_2$，证明延续映射的同伦等价性。
• 使用锥构造与带过滤的延续映射，关联不同的参数化链复形，并建立谱序列的收敛性。
• 通过在对 $(W, \partial W)$ 上赋予平凡 $S^1$-作用的 $S^1$-等变同调，证明 Gysin 序列与典型序列的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 Floer 理论方法严格定义具有接触型边界且辛双曲的流形的 $S^1$-等变辛同调？
• RQ2 非等变辛同调与其 $S^1$-等变版本之间的确切关系为何？该关系能否通过一个长正合序列来捕捉？
• RQ3 在此背景下，参数化辛同调构造如何作为连接非等变与等变理论的桥梁？
• RQ4 是否 $S^1$-等变辛同调的 Gysin 正合序列与辛同调的典型正合序列相容？
• RQ5 在 $S^1$-等变设定下，强代数 Weinstein 猜想是否蕴含强等变代数 Weinstein 猜想？

主要发现

• 等变辛同调 $SH^{a,S^1}_*(W)$ 落入一个长正合序列：$\cdots \to SH^a_k(W) \to SH^{a,S^1}_k(W) \xrightarrow{D} SH^{a,S^1}_{k-2}(W) \to SH^a_{k-1}(W) \to \cdots$，从而确立了 Gysin 型正合序列。
• Gysin 微分 $D$ 与典型正合序列相容：构造了一个交换图，展示了非等变与等变理论下 Gysin 序列与典型序列之间的相容性。
• 对于余切丛 $W = DT^*L$，Gysin 序列 (1.4) 同构于自由环路空间 $\Lambda L$ 上的经典 Gysin 序列，即 $\cdots \to H_*(\Lambda L) \to HS^1_*(\Lambda L) \xrightarrow{D} HS^1_{*-2}(\Lambda L) \to H_{*-1}(\Lambda L) \to \cdots$。
• 对于满足 $c_1(W) = 0$ 的次临界 Stein 流形，$S^1$-等变辛同调为零：$SH^{S^1}_*(W) = 0$，此时 Gysin 序列成为与对 $(W, \partial W)$ 的 $S^1$-同调同构的正合序列。
• 强代数 Weinstein 猜想（SAWC）蕴含强等变代数 Weinstein 猜想（EWC），如定理 1.2 中的交换图所示，且在 SAWC 下 $SH^*(W)$ 恒为零。
• 在参数化构造中，$S^1$-等变辛同调的同构类型与同伦数据的选择无关，此结论由谱序列收敛性与延续映射的同伦不变性所证明。