[论文解读] The $H^{\infty}$-Functional Calculus and Square Function Estimates

N. J. Kalton, Lutz Weis|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2014

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 14被引用 23

一句话总结

本文提出了一种适用于巴拿赫空间值函数的广义 $\gamma$-范数平方函数框架，通过 $R$-有界性和平方函数估计，实现了对 $H^\infty$-函数演算的刻画。研究证明，在有限型巴拿赫空间上，一个 $C_0$-群具有条带上的 $H^\infty$-演算当且仅当存在某个 $a>0$，使得 $e^{-a|s|}T_s$ 是 $R$-有界的；而一个扇形算子具有 $H^\infty$-演算当且仅当其具有 $R$-有界的虚幂。

ABSTRACT

Using notions from the geometry of Banach spaces we introduce square functions $γ(Ω,X)$ for functions with values in an arbitrary Banach space $X$. We show that they have very convenient function space properties comparable to the Bochner norm of $L_2(Ω,H)$ for a Hilbert space $H$. In particular all bounded operators $T$ on $H$ can be extended to $γ(Ω,X)$ for all Banach spaces $X$. Our main applications are characterizations of the $H^{\infty}$--calculus that extend known results for $L_p$--spaces from \cite{CowlingDoustMcIntoshYagi}. With these square function estimates we show, e. g., that a $c_0$--group of operators $T_s$ on a Banach space with finite cotype has an $H^{\infty}$--calculus on a strip if and only if $e^{-a|s|}T_s$ is $R$--bounded for some $a > 0$. Similarly, a sectorial operator $A$ has an $H^{\infty}$--calculus on a sector if and only if $A$ has $R$--bounded imaginary powers. We also consider vector valued Paley--Littlewood $g$--functions on $UMD$--spaces.

研究动机与目标

• 将 $H^\infty$-函数演算的刻画从希尔伯特空间和 $L_p$ 空间推广到一般巴拿赫空间，借助几何泛函分析。
• 通过引入基于高斯随机级数和 $\gamma$-范数的新平方函数框架，克服一般巴拿赫空间中缺乏格结构的问题。
• 建立 $R$-有界性条件，以刻画有限型巴拿赫空间中 $C_0$-群与扇形算子的 $H^\infty$-演算的存在性。
• 将经典的 Paley–Littlewood $g$-函数估计推广到 UMD 空间与巴拿赫格上的向量值情形。
• 厘清 $H^\infty$-演算、有界解析半群以及预解式与虚幂的 $R$-有界性之间的关系。

提出的方法

• 引入一个新的平方函数空间 $\gamma(\Omega,X)$，利用高斯随机级数和 $\gamma$-范数，替代希尔伯特空间中 $L_2(\Omega,H)$ 的博赫纳范数。
• 将 $\gamma$-有界性（在高斯平均背景下等价于 $R$-有界性）作为关键工具，用于扩展算子并刻画函数演算。
• 应用复插值与扩张技术，将 $L_p(\Omega)$ 上的半群扩展到 $L_p(\Omega,X)$ 上的 UMD 空间 $X$，同时保持有界解析性与正性。
• 建立 $C_0$-群在有限型空间上具有 $H^\infty$-演算与 $\{e^{-a|s|}T_s : s \in \mathbb{R}\}$ 的 $R$-有界性之间的等价性。
• 对扇形算子取对数，关联 $A$ 与 $\log A$ 的谱性质，从而连接群与扇形算子理论。
• 利用向量值乘子定理与插值理论，将希尔伯特空间上的结果推广至 UMD 与巴拿赫格情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限型的巴拿赫空间上，$C_0$-群在垂直条带上何时具有 $H^\infty$-函数演算？
• RQ2 经典的 Paley–Littlewood $g$-函数估计能否推广到 UMD 空间 $X$ 上的向量值 $L_p(\Omega,X)$ 空间？
• RQ3 扇形算子的虚幂 $A^{it}$，$t\in[-1,1]$ 的 $R$-有界性是否足以保证其具有 $H^\infty$-演算？
• RQ4 对于一般巴拿赫空间，$H^\infty$-演算的角度是否与扇形性角度一致，还是仅在希尔伯特空间中成立？
• RQ5 能否通过复插值，将 $H^\infty$-演算从 $L_p(\Omega,H)$ 扩展到插值空间 $X=[X_0,H]_\theta$ 上的 $L_p(\Omega,X)$？

主要发现

• 在具有有限型的巴拿赫空间上，$C_0$-群 $T_s$ 在条带上具有 $H^\infty$-演算当且仅当存在某个 $a > 0$，使得 $\{e^{-a|s|}T_s : s \in \mathbb{R}\}$ 是 $R$-有界的。
• 扇形算子 $A$ 在某扇形上具有 $H^\infty$-演算当且仅当 $A$ 具有 $R$-有界的虚幂。
• 对于有限型空间上的扇形算子 $A$，$\{A^{it} : t \in [-1,1]\}$ 的 $R$-有界性蕴含 $A$ 具有 $H^\infty$-演算。
• $H^\infty$-演算的角度 $\omega_{H^\infty}(A)$ 等于几乎 $R$-扇形性的角度，从而为演算提供了自然的框架。
• 若 $X$ 是复插值空间 $[X_0,H]_\theta$，其中 $X_0$ 为 UMD 空间，$H$ 为希尔伯特空间，且 $A$ 在 $L_p(\Omega)$ 上生成有界解析、正性、压缩的半群，则 $L_p(\Omega,X)$ 上的算子 $\mathbf{A}^\otimes$ 具有 $H^\infty(\Sigma(\sigma))$-演算，其中 $\sigma < \pi/2$。
• 结果可推广至具有 UMD 性质的巴拿赫格，在此情形下，Paley–Littlewood 估计具有经典形式，且 $H^\infty$-演算对 $L_p(\Omega,X)$ 上的分数幂 $\mathbf{(A^\alpha)}^\otimes$ 成立。