[论文解读] The Haagerup property is not invariant under quasi-isometry

Mathieu Carette, Whyte, Kevin+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过使用广义 Baumslag-Solitar 群构造显式反例，证明了对于有限生成群，Haagerup 性质和弱可乘性并非准等距不变量。利用同调映射和 Whyte 与 Cornulier-Valette 的准等距构造，作者表明在一对准等距群中，其中一个具有 Haagerup 性质和弱可乘性，而另一个则两者皆无，从而解决了几何群论中的一个开放问题。

ABSTRACT

Using the work of Cornulier-Valette and Whyte, we show that neither the Haagerup property nor weak amenability is invariant under quasi-isometry of finitely generated groups.

研究动机与目标

• 确定 Haagerup 性质和弱可乘性在有限生成群下是否在准等距下保持不变。
• 解决 [CTV07] 中提出的关于这些性质的准等距不变性问题。
• 将分析扩展至等变 $L^p$-压缩作为准等距不变量。
• 构造准等距群的显式例子，其中一者具有 Haagerup 性质和弱可乘性，而另一者则没有。

提出的方法

• 将广义 Baumslag-Solitar 群（GBS$_n$）用作 $ \mathbb{Z}^n$ 图的基本群。
• 利用同调映射 $\operatorname{hol}: \Gamma \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ 来刻画 Haagerup 性质和弱可乘性。
• 应用 Whyte 基于同调像的 Hausdorff 等价性的 GBS$_n$ 群准等距分类。
• 使用双Lipschitz双射 $\eta: F_2 \to F_3$ 构造群扩张之间的纤维保持准等距。
• 利用 Cornulier-Valette 的结果，从同调闭包的角度研究 Haagerup 性质和弱可乘性。
• 通过等变映射到 $L^p$-空间分析 $L^p$-压缩，使用定义 $\alpha_p^\sharp(G) = \sup \operatorname{comp}_p(f)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 Haagerup 性质在有限生成群下是否为准等距不变量？
• RQ2 弱可乘性是否在准等距下保持不变？
• RQ3 等变 $L^p$-压缩的消失（$\alpha_p^\sharp = 0$）是否在准等距下保持不变？
• RQ4 准等距群是否可能在 Haagerup 或弱可乘性状态上不同？
• RQ5 同调映射在 GBS$_n$ 群中决定这些性质时起什么作用？

主要发现

• Haagerup 性质和弱可乘性并非准等距不变量，通过构造一对准等距的有限生成群证明：其中一者具有这两个性质，而另一者则两者皆无。
• 对于 $1 \leq p \leq 2$，Haagerup 群 $\Gamma$ 的 $L^p$-压缩 $\alpha_p^\sharp(\Gamma) = \frac{1}{p}$，而非 Haagerup 群 $\Lambda$ 的 $\alpha_p^\sharp(\Lambda) = 0$。
• 反例依赖于通过自由群之间双Lipschitz映射构造的 $\mathbb{R}^2 \rtimes F_2$ 与 $\mathbb{R}^2 \rtimes F_3$ 之间的准等距。
• 这两个群的同调像为 Hausdorff 等价，满足 Whyte 的准等距准则，但其 Haagerup 性质和弱可乘性却不同。
• $L^p$-压缩的消失并非准等距不变量，因为 $\alpha_p^\sharp$ 在准等距群之间存在差异。
• 该结果可推广至单模、紧生成、局部紧群，表明 $\mathbb{R}^2 \rtimes F_2$ 与 $\mathbb{R}^2 \rtimes F_3$ 是准等距的，但在 Haagerup 性质和弱可乘性上存在差异。