[论文解读] The Haagerup property is stable under graph products

Yago Antolín, Dennis Dreesen|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用 15

一句话总结

本文证明了Haagerup性质在图积下保持不变，这是自由积和直积的推广。文章给出了等变与非等变 $L_p$-压缩性的定量界，并证明了图积的渐近维数的上界，该上界以顶点群的渐近维数表示，推广了Dranishnikov对右角Coxeter群的结果。

ABSTRACT

The Haagerup property, which is a strong converse of Kazhdan's property $(T)$, has translations and applications in various fields of mathematics such as representation theory, harmonic analysis, operator K-theory and so on. Moreover, this group property implies the Baum-Connes conjecture and related Novikov conjecture. The Haagerup property is not preserved under arbitrary group extensions and amalgamated free products over infinite groups, but it is preserved under wreath products and amalgamated free products over finite groups. In this paper, we show that it is also preserved under graph products. We moreover give bounds on the equivariant and non-equivariant $L_p$-compressions of a graph product in terms of the corresponding compressions of the vertex groups. Finally, we give an upper bound on the asymptotic dimension in terms of the asymptotic dimensions of the vertex groups. This generalizes a result from Dranishnikov on the asymptotic dimension of right-angled Coxeter groups.

研究动机与目标

• 确定Haagerup性质是否在图积下保持不变，图积是自由积和直积的自然推广。
• 通过界定等变与非等变 $L_p$-压缩性，对图积的Haagerup性质进行量化。
• 将Dranishnikov对右角Coxeter群的渐近维数界推广至任意图积。
• 建立图积的渐近维数与其顶点群渐近维数之间的关系。

提出的方法

• 作者通过对定义图中顶点数的归纳，来界定图积的渐近维数。
• 他们利用图积结构，对并联合自由积和直积的渐近维数已知界进行应用。
• 通过到 $L_p$-空间的粗嵌入分析 $L_p$-压缩性，重点关注等变与非等变情形。
• 证明利用了图积可分解为与定义图中完全子图（团）相关联的子群这一事实。
• 作者定义了 $\max(1, \operatorname{adim}G_v)$ 以处理有限顶点群，确保界保持紧致。
• 他们利用渐近维数在并联合自由积和直积下具有次可加性的事实，并递归应用此性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 Haagerup性质是否在图积下保持不变，图积是自由积和直积的推广？
• RQ2 图积的 $L_p$-压缩性能否以顶点群的 $L_p$-压缩性来界定？
• RQ3 图积的渐近维数与其顶点群的渐近维数有何关系？
• RQ4 对右角Coxeter群成立的渐近维数界是否可推广至一般图积？
• RQ5 有限顶点群如何影响图积的渐近维数与压缩界？

主要发现

• Haagerup性质在图积下是稳定的，正面回答了问题1.1。
• 图积的等变 $L_p$-压缩性有下界，其值为顶点群相应压缩性的最小值。
• 图积的非等变 $L_p$-压缩性有下界，其值为顶点群压缩性的最小值。
• 图积 $G = \Gamma\mathfrak{G}$ 的渐近维数满足 $\operatorname{adim}G \leq \max_{C \in \mathcal{C}} \sum_{v \in C} \max(1, \operatorname{adim}G_v)$，其中 $\mathcal{C}$ 是定义图中团的集合。
• 该界是紧致的，如 $n$ 个无限二面体群与 $m$ 个 $\mathbb{Z}$ 的乘积所示，此时 $\operatorname{adim}G = m+n$。
• 该结果推广了Dranishnikov对右角Coxeter群的界，将其扩展至具有任意有限生成顶点群的一般图积。