[论文解读] The Haldane model and its localization dichotomy

Giovanna Marcelli, Domenico Monaco+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2019

Quantum chaos and dynamical systems被引用 11

一句话总结

本文以哈尔丹模型为教学框架，建立了具有能隙的周期性量子系统中的局域化二分法，证明了Wannier函数要么呈指数局域化（当时间反演对称性成立时），要么呈非局域化（|x|²期望值发散），中间状态完全被排除。关键贡献将此二分法推广至非周期性系统，表明若广义Wannier基足够局域，则陈数标记为零，从而禁止霍尔输运。

ABSTRACT

Gapped periodic quantum systems exhibit an interesting Localization Dichotomy, which emerges when one looks at the localization of the optimally localized Wannier functions associated to the Bloch bands below the gap. As recently proved, either these Wannier functions are exponentially localized, as it happens whenever the Hamiltonian operator is time-reversal symmetric, or they are delocalized in the sense that the expectation value of $|\mathbf{x}|^2$ diverges. Intermediate regimes are forbidden. Following the lesson of our Maestro, to whom this contribution is gratefully dedicated, we find useful to explain this subtle mathematical phenomenon in the simplest possible model, namely the discrete model proposed by Haldane (Phys. Rev. Lett. 61, 2017 (1988)). We include a pedagogical introduction to the model and we explain its Localization Dichotomy by explicit analytical arguments. We then introduce the reader to the more general, model-independent version of the dichotomy proved in (Commun. Math. Phys. 359, 61-100 (2018)), and finally we announce further generalizations to non-periodic models.

研究动机与目标

• 通过一个简单且物理上相关的模型，阐明具有能隙的周期性量子系统中局域化二分法的本质特征，该模型能捕捉拓扑绝缘体的核心特性。
• 以一阶量子化形式对哈尔丹模型进行教学性介绍，与标准的二阶量子化处理方式形成对比。
• 将布洛赫函数的H¹-范数发散与非平凡陈数联系起来，建立拓扑与波函数奇异性之间的定量关联。
• 将周期性系统的局域化二分法推广至非周期性系统，证明当广义Wannier基满足s*-局域化（s* > 5）时，其陈数标记趋于零。
• 证明该二分法在常规微扰下具有稳定性，表明微扰系统中的局域化意味着拓扑平凡性。

提出的方法

• 采用哈尔丹模型——一种具有复跃迁和亚晶格势的离散紧束缚格点模型，以模拟时间反演对称性破缺的陈绝缘体。
• 应用一阶量子化形式，定义布洛赫能带，并通过布里渊区上贝里曲率的积分计算陈数。
• 分析非零陈数下布洛赫函数H¹-范数的发散，证明此类奇异性在数学上是强制成立的。
• 通过证明|x|²期望值发散，将H¹-范数的发散转化为Wannier函数的非局域化。
• 采用Combes-Thomas型估计，推导非周期性情形下谱投影积分核的指数衰减界。
• 利用陈数标记表达式 Tr[iχL P[[X₁,P],[X₂,P]] PχL] 的迹渐近展开，证明当s*-局域化广义Wannier基（s* > 5）时，极限L → ∞下陈数标记趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能在简单且物理相关的模型中展示具有能隙的周期性量子系统中的局域化二分法？
• RQ2 非平凡拓扑（非零陈数）与布洛赫函数奇异性之间存在何种数学关系？
• RQ3 布洛赫函数H¹-范数的发散如何导致Wannier函数的非局域化？
• RQ4 周期性局域化二分法能否推广至非周期性系统？何种条件可确保局域化导致拓扑平凡性？
• RQ5 该局域化二分法在如杂质等常规非周期性微扰下是否稳定？

主要发现

• 在哈尔丹模型中，非零陈数强制布洛赫函数的H¹-范数发散，直接建立了拓扑与波函数奇异性之间的联系。
• H¹-范数的发散意味着对应的Wannier函数呈非局域化，其|x|²期望值发散。
• 在周期性系统中，局域化二分法成立：Wannier函数要么指数局域化（当时间反演对称性成立时），要么非局域化；中间状态被禁止。
• 在非周期性情形下，若广义Wannier基满足s*-局域化（s* > 5），则谱投影的陈数标记在极限L → ∞下趋于零。
• 该结果表明，只要广义Wannier基足够局域，系统便无法表现出霍尔输运，无论其是否具有周期性。
• 该二分法在常规微扰下具有稳定性：若微扰系统存在局域化的广义Wannier基，则原始周期性系统必须具有零陈数，与非平凡拓扑矛盾。