[论文解读] The Hamilton-Waterloo problem for Hamilton cycles and C4k-factors

Hongchuan Lei, Hung‐Lin Fu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2010

graph theory and CDMA systems参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文针对哈密顿圈与 $C_{4k}$-因子的情形，提供了哈密顿-沃特尔问题的完整解法，证明了当且仅当 $r+s = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor$ 且 $n \not\equiv 0 \pmod{4k}$（当 $s > 0$ 时），或 $n \equiv 3 \pmod{4}$（当 $s = 0$ 时），$HW(n;r,s;n,4k)$ 存在。该解法依赖于循环群构造的结构化边分解与 $Z_{2t} \times Z_{2k}$ 上的圈因子分解，且对所有满足 $n \equiv 0 \pmod{4k}$ 及所有有效 $r,s$ 组合，均建立了存在性。

ABSTRACT

In this paper we give a complete solution to the Hamilton-Waterloo problem for the case of Hamilton cycles and C4k-factors for all positive integers k.

研究动机与目标

• 解决其中一种因子为哈密顿圈、另一种为 $C_{4k}$-因子的哈密顿-沃特尔问题。
• 确定 $HW(n;r,s;n,4k)$ 分解存在的必要与充分条件。
• 通过全面处理 $C_{4k}$-因子情形，扩展先前关于均匀2-因子分解的研究结果。
• 在 $Z_{2t} \times Z_{2k}$ 上利用顶点划分与边匹配技术，提供构造性证明。
• 证明当 $n \equiv 0 \pmod{4k}$ 时，所有可行的 $r,s$ 值均可实现。

提出的方法

• 将 $K_n$ 的顶点集划分为 $2t$ 个部分 $V_i = \{i\} \times Z_{2k}$，其中 $n = 4kt$，以实现结构化分解。
• 定义边集 $(i,j)_d = \{(i_l j_{l+d}) \mid l \in Z_{2k}\}$ 为完全二部图 $K_{V_i,V_j}$ 中的完美匹配。
• 利用引理 2.2，当偏移量之和与 $2k$ 互素时，从匹配序列 $(i,j)_d$ 构造哈密顿圈。
• 应用引理 2.3，当偏移量之差与 $2k$ 互素时，从配对匹配构造 $C_{4k}$-因子。
• 将 $F_i$ 与 $X$ 构造为匹配的并集，以形成可分解为 HCs 或 $C_{4k}$-因子的基子图。
• 通过组合 $F_{2i-1} \cup F_{2i}$ 与 $F_1 \cup F_2 \cup F_{2t-1} \cup X$ 的分解，覆盖所有所需的 $r$ 与 $s$ 值。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $n$ 与 $k$，$HW(n;r,s;n,4k)$ 分解存在？
• RQ2 当 $n \equiv 0 \pmod{4k}$ 时，所有有效的 $r$ 与 $s$ 组合是否均可实现？
• RQ3 边集与偏移量的何种结构条件可确保哈密顿圈或 $C_{4k}$-因子的形成？
• RQ4 $n \equiv 0 \pmod{4k}$ 是否为 $HW(n;r,s;n,4k)$ 存在的充分条件？
• RQ5 在给定约束下，如何系统地构造任意 $r$ 与 $s$ 的分解？

主要发现

• 当且仅当 $r + s = \left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor$ 且 $n \equiv 0 \pmod{4k}$（当 $s > 0$ 时），或 $n \geq 3$（当 $s = 0$ 时），$HW(n;r,s;n,4k)$ 存在。
• 对所有满足 $n \equiv 0 \pmod{4k}$ 的情形，解法是完备的，且当 $s > 0$ 时，所有 $r \in \{0,1,\dots,\frac{n-2}{2}\}$ 均被实现。
• 当 $n = 4k$ 时，结果可直接由已知的可分解圈分解（定理 1.5）推出。
• 当 $n = 8k$ 时，结果通过定理 1.4 关于 $HW(n;r,s;t,2t)$ 的结论得到验证，此时 $t = 2k$。
• 当 $n \equiv 0 \pmod{4k}$ 时，集合 $HW^*(n;n,4k)$ 包含从 $0$ 到 $\frac{n-2}{2}$ 的所有整数，此结论由命题 3.3、3.4 与 3.6 的结合得出。
• 该构造方法通过利用偏移量之和与差的互素条件，成功地将匹配的并集分解为 HCs 或 $C_{4k}$-因子，从而实现了所有 $r$ 与 $s$ 值。