[论文解读] The Hamiltonicity, Hamiltonian Connectivity, and Longest (s, t)-path of L-shaped Supergrid Graphs

Fatemeh Keshavarz-Kohjerdi, Ruo-Wei Hung|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2019

Interconnection Networks and Systems参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文確立了L形超格圖的哈密頓性與哈密頓連通性的必要與充分條件，證明此類圖形除了一個平凡條件外皆為哈密頓圖，且除少數特定情形外皆為哈密頓連通圖。本文提出一個線性時限演算法，用以計算這些圖形中任意兩點間的最長(s,t)-路徑，適用於優化刺繡與3D列印路徑。

ABSTRACT

Supergrid graphs contain grid graphs and triangular grid graphs as their subgraphs. The Hamiltonian cycle and path problems for general supergrid graphs were known to be NP-complete. A graph is called Hamiltonian if it contains a Hamiltonian cycle, and is said to be Hamiltonian connected if there exists a Hamiltonian path between any two distinct vertices in it. In this paper, we first prove that every L-shaped supergrid graph always contains a Hamiltonian cycle except one trivial condition. We then verify the Hamiltonian connectivity of L-shaped supergrid graphs except few conditions. The Hamiltonicity and Hamiltonian connectivity of L-shaped supergrid graphs can be applied to compute the minimum trace of computerized embroidery machine and 3D printer when a L-like object is printed. Finally, we present a linear-time algorithm to compute the longest (s, t)-path of L-shaped supergrid graph given two distinct vertices s and t.

研究动机与目标

• 確立L形超格圖哈密頓性的必要與充分條件。
• 在特定結構約束下，驗證L形超格圖的哈密頓連通性。
• 發展一個有效演算法，以計算L形超格圖中任意兩點間的最長(s,t)-路徑。
• 將理論結果應用於電腦刺繡與3D列印路徑規劃等實際問題。

提出的方法

• 作者分析L形超格圖的結構特性，其定義為從右上角移除一個矩形子圖的矩形超格圖。
• 根據頂點位置與圖形尺寸，建立圖形中存在哈密頓環或任意兩頂點間存在哈密頓路徑的條件。
• 透過頂點割條件與子圖分解進行分情況分析，以驗證哈密頓路徑的存在性。
• 演算法透過在分解後的子圖上遞迴求解子問題，並結合已知的矩形超格圖結果，建構最長(s,t)-路徑。
• 演算法透過根據s與t相對於L形結構的位置，以結構化方式遍歷圖形，執行時間為O(mn)。
• 理論證明依賴於引理與定理，以驗證在各種配置下（包括頂點割與邊界條件）的路徑存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，L形超格圖為哈密頓圖？
• RQ2 在何種條件下，L形超格圖為哈密頓連通圖？
• RQ3 L形超格圖中最長(s,t)-路徑的結構為何？
• RQ4 如何在這些圖形中高效計算最長(s,t)-路徑？

主要发现

• L形超格圖為哈密頓圖，除非違反單一平凡條件，此情況僅發生於圖形過小或退化時。
• L形超格圖的哈密頓連通性在三種特定結構條件下不成立，這些條件涉及頂點位置與圖形尺寸。
• 存在一個線性時限演算法（O(mn)），可用於計算任意L形超格圖中兩相異頂點s與t之間的最長(s,t)-路徑。
• 該演算法能正確處理所有情況，包括{s,t}形成頂點割的情形，方法為將圖形分解為子圖並合併最長路徑。
• 最長(s,t)-路徑的計算基於遞迴分解與已知的矩形超格圖結果，確保正確性與效率。
• 理論結果可直接應用於電腦刺繡機器與3D列印機器的實際路徑規劃問題。