[论文解读] The Harary index of trees

Aleksandar Ilić, Guihai Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Graph theory and applications参考文献 5被引用 24

一句话总结

本文研究了基于倒数最短路径距离的树的Harary指数——一种拓扑图不变量——在树结构中建立了偏序关系，并在多种约束条件下识别出具有最大和最小指数的极值树。研究证明，具有最大Harary指数的树恰好与具有最小Wiener指数的树一致，反之亦然，且这一结论在多个结构参数下均成立。

ABSTRACT

The Harary index of a graph G is recently introduced topological index, defined on the reverse distance matrix as H(G) = P u,v2V (G) 1 d(u,v) , where d(u,v) is the length of the shortest path between two distinct vertices u and v. We present the partial ordering of starlike trees based on the Harary index and we describe the trees with the second maximal and the second minimal Harary index. In this paper, we investigate the Harary index of trees with k pendent vertices and determine the extremal trees with maximal Harary index. We also characterize the extremal trees with maximal Harary index with respect to the number of vertices of degree two, matching number, independence number, domination number, radius and diameter. In addition, we characterize the extremal trees with minimal Harary index and given maximum degree. We concluded that in all presented classes, the trees with maximal Harary index are exactly those trees with the minimal Wiener index, and vice versa.

研究动机与目标

• 基于Harary指数对星形树建立偏序关系。
• 识别出所有树中Harary指数第二大的树和第二小的树。
• 在悬挂顶点数量受限的条件下，确定具有最大Harary指数的极值树。
• 根据直径、半径、匹配数、独立数和支配数等结构参数，刻画具有最大Harary指数的极值树。
• 在给定最大度数约束下，识别具有最小Harary指数的极值树。

提出的方法

• 将Harary指数定义为树中所有无序顶点对之间最短路径距离倒数的总和：H(G) = Σ_{u,v∈V(G), u≠v} 1/d(u,v)。
• 应用结构图论技术，基于距离分布和顶点度配置比较不同树的结构。
• 利用极值图论方法，在给定约束下识别使Harary指数最大化或最小化的树。
• 通过证明具有最大Harary指数的树恰好是具有最小Wiener指数的树，反之亦然，建立Harary指数与Wiener指数之间的对偶性。
• 使用递归距离分解和对称性论证，分析星形树（即具有中心路径和悬挂顶点的树）。
• 在基于度序列、悬挂顶点数量和结构不变量参数化的树族上，应用组合优化方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些树在所有树中达到第二高的Harary指数？
• RQ2 哪些树在所有树中达到第二低的Harary指数？
• RQ3 当悬挂顶点数量固定时，具有最大Harary指数的树的结构是什么？
• RQ4 在直径、半径、匹配数、独立数和支配数等参数下，具有最大Harary指数的极值树如何变化？
• RQ5 当最大顶点度数受限时，具有最小Harary指数的树的结构是什么？

主要发现

• 在所有考虑的结构约束下，具有最大Harary指数的树恰好与具有最小Wiener指数的树一致。
• 在相同约束下，具有最小Harary指数的树恰好与具有最大Wiener指数的树一致。
• 在具有k个悬挂顶点的树中，具有最大Harary指数的极值树具有唯一性，其结构由特定的度分布和路径配置决定。
• 在给定最大度数的条件下，具有最小Harary指数的极值树已被识别，并显示为一种具有受控分枝的类似叶状树（caterpillar-like）结构。
• 基于Harary指数的星形树偏序关系已完全确定，其极值构型可通过度分布和路径对称性识别。
• Harary指数与Wiener指数之间的对偶性在所有研究的树类中普遍成立，表明其在极值行为上存在深层次的结构等价性。