[论文解读] The Hausdorff dimension of the range of the Lévy multistable processes

Ronan Le Guével|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文计算了稳定性指数 α 随时间平滑变化的 Lévy 多稳定过程的像集的 Hausdorff 维数，扩展了常数 α 情况下的经典结果。与齐次稳定过程不同，当一阶矩无穷时，该维数依赖于多稳定过程的具体版本，揭示了非平稳且非独立同分布增量的行为。

ABSTRACT

We compute the Hausdorff dimension of the image X(E) of a non random Borel set E $\subset$ [0, 1], where X is a Lévy multistable process in R. This extends the case where X is a classical stable Lévy process by letting the stability exponent $α$ be a smooth function, which leads to non-homogeneous processes because their increments are not stationary and not necessarily independent. Contrary to the situation where the stability parameter is a constant, the dimension depends on the version of the multistable Lévy motion when the process has an infinite first moment.

研究动机与目标

• 将 Lévy 过程像集的 Hausdorff 维数计算推广到稳定性指数 α 为时间平滑函数的非齐次情形。
• 分析非随机 Borel 集 E ⊂ [0,1] 在多稳定 Lévy 过程 X 下像集 X(E) 的分形几何结构。
• 研究当一阶矩无穷时，像集维数如何依赖于多稳定过程的版本。
• 建立时间依赖 α 的多稳定过程表现出非平稳且非独立同分布增量，导致维数依赖于过程构造方式。

提出的方法

• 使用 Ferguson-Klass-LePage 系列表示法，定义具有时间依赖稳定性指数 α(t) 的多稳定 Lévy 运动。
• 应用对称 α 稳定随机测度与泊松过程的随机积分表示，以建模跳跃到达与跳跃大小。
• 将过程分解为半鞅 A + M，其中 A 为有限变差部分，M 为鞅部分。
• 应用 Doob 的鞅不等式与 Hölder 不等式，控制小时间区间内增量的 p 阶矩。
• 利用凸包与划分的网格分析局部行为，并推导维数的上界与下界。
• 通过关于 α 的振荡与跳跃大小在时间区间上的行为的技术性引理，建立维数的上下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 多稳定 Lévy 过程像集的 Hausdorff 维数如何依赖于时间变化的稳定性指数 α(t)？
• RQ2 当过程的一阶矩无穷时，维数会发生什么变化？这如何影响过程版本的选择？
• RQ3 多稳定过程中增量的非平稳性与非独立同分布性是否会导致像集维数与经典稳定过程不同？
• RQ4 是否可以对多稳定过程的不同版本统一计算维数，还是维数随构造方式而变化？

主要发现

• 像集 X(E) 的 Hausdorff 维数作为时间变化稳定性指数 α(t) 在集合 E 上局部行为的函数被计算得出。
• 当一阶矩无穷时，像集的维数依赖于多稳定过程的具体版本，表明在不同构造下分形维数不唯一。
• 维数由 α(t) 在 E 上的essential 上确界与下确界决定，维数公式反映了 α(t) 所诱导的局部 Hölder 正则性。
• 该结果将常数 α 稳定过程的经典结果推广至非齐次情形，此时过程具有非平稳且非独立同分布的增量。
• 证明依赖于过程有限变差部分与鞅部分的矩估计，其中泊松跳跃到达与由 α(t) 控制的跳跃大小缩放。
• 维数对 α(t) 在小时间区间上的振荡敏感，通过划分网格与跳跃大小控制导出上下界。