[论文解读] The Hawaiian earring group and metrizability

Paul Fabel|ArXiv.org|Mar 10, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文证明了赋予环面空间拓扑的夏威夷项链的基本群不是度量空间。通过构造一系列在基点附近振荡次数递增的环路，作者表明该序列在拓扑上不收敛于平凡环路，从而将其与度量空间中的对应结构区分开来，确立了其非度量、非同胚的结构特征。

ABSTRACT

Endowed with quotient topology inherited from the space of based loops, the fundamental group of the Hawaiian earring fails to be metrizable. The fundamental group of any space which retracts to the Hawaiian earring is also nonmetrizable.

研究动机与目标

• 解决夏威夷项链的拓扑基本群是否为度量空间的开放问题。
• 证明由环路空间拓扑诱导的商拓扑在基本群上本质上是非度量的。
• 表明这种拓扑群结构在拓扑上不同于基本群的逆极限和基于度量的构造。
• 建立拓扑障碍，说明夏威夷项链无法作为具有度量拓扑基本群的空间的形变收缩。

提出的方法

• 赋予夏威夷项链中基于环路空间以一致收敛拓扑。
• 将拓扑基本群定义为从环路空间通过自然投影得到的路径连通分支的商空间。
• 构造一列环路 $ f_n $，其环绕前 $ m_n $ 个圆周，设计为在非基点处具有递增的振荡。
• 定义振荡函数 $ o(g) $，统计环路在基点与固定非基点 $ q \in X_1 $ 之间交替的次数，该函数在路径同伦下保持不变。
• 利用 $ o(f_n) \geq n $ 的事实，证明任何与 $ f_n $ 路径同伦的环路序列都无法一致收敛于常值环路。
• 利用拓扑基本群的 $ T_1 $ 性质以及路径连通分支的闭性，证明 $ [f_n] $ 不收敛于 $ [P] $，从而推导出非度量性。

实验结果

研究问题

• RQ1 赋予环路空间商拓扑的夏威夷项链的拓扑基本群是否为度量空间？
• RQ2 商拓扑 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 与基本群的逆极限和度量构造有何不同？
• RQ3 夏威夷项链能否是其拓扑基本群为度量空间的某个空间的形变收缩？
• RQ4 环路空间的哪些拓扑性质阻止了基本群中某些序列的收敛？

主要发现

• 拓扑基本群 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 不是度量空间，通过构造一列 $ [f_n] $ 证明其不收敛于平凡环路 $ [P] $。
• 序列 $ [f_n] $，其中每个 $ f_n $ 的振荡数至少为 $ n $，在 $ C_p(HE) $ 中无法有收敛子列，意味着 $ \{[f_n]\} $ 是闭集且不聚集于 $ [P] $。
• 拓扑群 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 是可分且正规的，但其非度量性使其与度量的逆极限 $ \varprojlim \pi_1(X_n, p) $ 在拓扑上不同。
• 不存在 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 到逆极限空间的拓扑嵌入，且这两个群不同胚。
• 夏威夷项链无法嵌入为任何路径连通度量空间 $ Y $ 的形变收缩，其中 $ \pi_1^{\text{top}}(Y) $ 是度量的。
• 由于 $ \pi_1^{\text{top}}(HE, p) $ 的非度量性，若某空间 $ Y $ 有形变收缩到夏威夷项链，则其拓扑基本群必为非度量的。