[论文解读] The Heisenberg Uncertainty Principle and the Nyquist-Shannon Sampling Theorem

Pierre A. Millette|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2011

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用 7

一句话总结

本文將海森堡不确定性原理（HUP）重新解釋為傅里叶变换理论的結果，表明其源自共轭变量（如位置與動量）之間的數學關係，而非基本的量子不確定性。本文提出尼奎斯特-夏農取樣定理是描述量子測量限制的更準確模型，並證明固體物理中的布里渊區是此取樣原理在量子層級的體現，暗示測量限制而非本質上的不確定性，定義了我們對量子行為的感知。

ABSTRACT

The derivation of the Heisenberg Uncertainty Principle (HUP) from the Uncertainty Theorem of Fourier Transform theory demonstrates that the HUP arises from the dependency of momentum on wave number that exists at the quantum level. It also establishes that the HUP is purely a relationship between the effective widths of Fourier transform pairs of variables (i.e. conjugate variables). We note that the HUP is not a quantum mechanical measurement principle per se. We introduce the Quantum Mechanical equivalent of the Nyquist-Shannon Sampling Theorem of Fourier Transform theory, and show that it is a better principle to describe the measurement limitations of Quantum Mechanics. We show that Brillouin zones in Solid State physics are a manifestation of the Nyquist-Shannon Sampling Theorem at the quantum level. By comparison with other fields where Fourier Transform theory is used, we propose that we need to discern between measurement limitations and inherent limitations when interpreting the impact of the HUP on the nature of the quantum level. We further propose that while measurement limitations result in our perception of indeterminism at the quantum level, there is no evidence that there are any inherent limitations at the quantum level, based on the Nyquist-Shannon Sampling Theorem.

研究动机与目标

• 透過傅里叶變換理論推導海森堡不确定性原理（HUP），而非作為量子力學的基本不確定性。
• 挑戰將HUP解釋為自然本質限制的觀點，主張其反映的是測量約束。
• 引入尼奎斯特-夏農取樣定理作為補充且更準確的原理，用以描述量子測量的限制。
• 證明固體物理中的布里渊區是尼奎斯特-夏農取樣定理在量子尺度的物理體現。
• 主張量子系統本身並非本質上不確定，而是因測量限制而顯得不確定——若以適當方式取樣，量子系統可能具有決定性。

提出的方法

• 從傅里葉變換理論的不確定性定理出發，利用變異數與平均值定義的函數對有效寬度，推導HUP。
• 應用時間/頻率與位置/波數之間的傅里葉變換對關係，推導出角頻率與週期頻率形式的不確定性關係。
• 利用德布羅意關係（p = h/λ 或 p = ħk）將波數與動量連結，顯示 Δx·Δp ≥ h/2。
• 引入尼奎斯特-夏農取樣定理作為量子力學等價，顯示對某一組共轭變數進行規則取樣，可突破HUP的限制。
• 分析固體物理中的布里淵區，作為尼奎斯特-夏農取樣定理在量子層級的物理實現。
• 比較HUP與取樣定理在 h/2 等號點的重疊，結論為此為數學巧合，無物理意義。

实验结果

研究问题

• RQ1 海森堡不确定性原理能否完全從傅里葉變換理論推導，而獨立於量子力學？
• RQ2 HUP是自然的本質限制，還是測量約束的結果？
• RQ3 尼奎斯特-夏農取樣定理是否提供了比HUP更佳的框架，以理解量子測量的限制？
• RQ4 固體物理中的布里淵區是否為尼奎斯特-夏農取樣定理在量子尺度的體現？
• RQ5 當變數被規則取樣時，是否能測量到低於HUP限制的值，如取樣定理所預測？

主要发现

• 從傅里葉理論推導出的HUP，其 Δx·Δp 的下限為 h/2，而非傳統表述中的 ħ/2，與常見形式矛盾。
• HUP源自傅里葉變換對中共軛變數之間的數學關係，而非本質上的量子不確定性。
• 尼奎斯特-夏農取樣定理補充了HUP，透過規則取樣使我們能探測到低於HUP限制的變數值。
• 固體物理中的布里淵區被證明是尼奎斯特-夏農取樣定理在量子尺度的物理體現。
• HUP與取樣定理在 h/2 點的重疊僅為數學巧合，無物理意義。
• 測量限制而非本質上的不確定性，解釋了為何量子系統顯得不確定——若取樣方式恰當，量子系統可能具有決定性。