[论文解读] The Heyde characterization theorem on some locally compact Abelian groups

Gennadiy Feldman|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

advanced mathematical theories参考文献 14被引用 9

一句话总结

本文建立了局部紧阿贝尔群上Heyde特征定理的群论类比，证明在条件 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ 下，给定 $L_1 = \xi_1 + \xi_2$ 时，$L_2 = \xi_1 + \alpha\xi_2$ 的条件分布对称性可刻画此类群上的高斯分布。该结果将经典Heyde定理由实直线推广至一般局部紧阿贝尔群，对自同构施加条件，并排除2-挠元的存在。

ABSTRACT

By the Heyde theorem, the Gaussian distribution on the real line is characterized by the symmetry of the conditional distribution of one linear form of of $n$ independent random variables given another. When $n=2$ we prove analogues of this theorem in the case when independent random variables take values in a locally compact Abelian group $X$ and coefficients of the linear forms are topological automorphisms of $X$.

研究动机与目标

• 将经典的Heyde特征定理——最初针对实值独立同分布随机变量——推广至局部紧阿贝尔群的设定。
• 确定拓扑自同构 $\alpha$ 的必要与充分条件，使得给定 $L_1 = \xi_1 + \xi_2$ 时，$L_2 = \xi_1 + \alpha\xi_2$ 的条件分布对称性可刻画高斯分布。
• 证明条件 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ 在群中不包含非零2-挠元的前提下，是该刻画的必要且充分条件。
• 将该刻画结果推广至具有有限紧子群且不含2-挠元的群，以及特征函数非零的情形。

提出的方法

• 利用局部紧阿贝尔群的对偶理论，研究其特征群 $Y$ 及其上的伴随自同构 $\tilde{\alpha}$。
• 将由变换线性形式 $M_1$ 与 $M_2$ 的独立性导出的函数方程应用有限差分法。
• 将对称性条件转化为涉及特征函数 $\hat{\mu}_1$ 与 $\hat{\mu}_2$ 的函数方程，进而在特征群中导出方程 (33)。
• 引入 $\psi_j(y) = -\log|\hat{\mu}_j(y)|^2$，将乘法型函数方程转化为加法型，从而可应用有限差分算子。
• 利用恒等式 $\Delta_h^3 P(y) = 0$ 推出 $P(y)$ 满足二次函数方程，从而蕴含底层分布的高斯性。
• 使用Cramér型分解定理（引理9）得出结论：若高斯分布可表示为两个分布的卷积，则两个分量均为高斯分布，前提是群 $X$ 不包含与 $\mathbb{T}$ 拓扑同构的子群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部紧阿贝尔群 $X$ 的拓扑自同构 $\alpha$ 满足何种条件时，给定 $L_1 = \xi_1 + \xi_2$ 时，$L_2 = \xi_1 + \alpha\xi_2$ 的条件分布对称性可推出 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 的分布为高斯分布？
• RQ2 条件 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ 是否在群中不包含非零2-挠元的前提下，既是必要也是充分条件？
• RQ3 该刻画结果能否推广至具有有限紧子群且不包含2-挠元的群？
• RQ4 若 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 的特征函数非零，是否可允许弱于 $I \pm \alpha \in \operatorname{Aut}(X)$ 的条件，同时仍保持该刻画成立？

主要发现

• 对于不含非零紧元素且无2-挠元的第二可数局部紧阿贝尔群 $X$，条件 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ 是给定 $L_1$ 时 $L_2$ 的条件分布对称性刻画高斯分布的必要且充分条件。
• 条件分布的对称性意味着线性形式 $M_1 = (I + \alpha)\xi_1 + 2\alpha\xi_2$ 与 $M_2 = 2\xi_1 + (I + \alpha)\xi_2$ 相互独立，从而在特征群中导出一个函数方程。
• 对特征函数应用有限差分法，可推出函数 $P(y)$ 与 $Q(y)$ 满足二次函数方程，从而蕴含底层分布为高斯分布。
• 利用Cramér型分解定理（引理9）可确保：若高斯分布可表示为两个分布的卷积，则两个分量均为高斯分布，前提是群 $X$ 不包含与 $\mathbb{T}$ 拓扑同构的子群。
• 即使 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 的特征函数非零，只要群 $X$ 不含2-挠元且 $\alpha$ 满足 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$，该结果依然成立。
• 证明依赖于 $Y^{(2)}$ 与 $(I + \tilde{\alpha})(Y)$ 在 $Y$ 中的稠密性，前者由无2-挠元保证，后者由 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ 条件保证。