[论文解读] The Hidden Subgroup Problem

Frédéric Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文是2010年对隐子群问题（HSP）的全面更新，引入了通过正规子群和商群对HSP进行归纳求解的新理论框架。它提出了基于群同构的Dedekindian群的新算法，推导出二面体群上强傅里叶采样的精确表达式，并将刚性图同构问题归约为交错群上的HSP，同时对Regev的唯一SVP算法进行了分析，给出了明确的预言机复杂度界。

ABSTRACT

We give an overview of the Hidden Subgroup Problem (HSP) as of July 2010, including new results discovered since the survey of arXiv:quant-ph/0411037v1. We recall how the problem provides a framework for efficient quantum algorithms and present the standard methods based on coset sampling. We study the Dihedral and Symmetric HSPs and how they relate to hard problems on lattices and graphs. Finally, we conclude with the known solutions and techniques, describe connections with efficient algorithms as well as miscellaneous variants of HSP. We also bring various contributions to the topic. We show that in theory, we can solve HSP over a given group inductively: the base case is solving HSP over its simple factor groups and the inductive step is building efficient oracles over a normal subgroup N and over the factor group G/N. We apply this analysis to the Dedekindian HSP to get an alternative abelian HSP algorithm based on a change of the underlying group. We also propose a quotient reduction by the normal group obtained via Weak Fourier Sampling. We compute the exact expression of Strong Fourier Sampling over the dihedral group, showing how the previous reduction is natural and matches the standard one. We also give a reduction of rigid graph isomorphism problem to HSP over the alternating group. For this group and other simple groups, we propose maximal subgroup reduction as a possible approach. We also analyse Regev's algorithm for the poly(n)-uniqueSVP, prove how the degree of the polynomial is related to the oracle complexity used and we suggest several variants.

研究动机与目标

• 将求解隐子群问题（HSP）的理论框架扩展至阿贝尔群和已知非阿贝尔群之外的范围。
• 提出一种基于正规子群和商群的新型HSP归纳求解方法。
• 推导出二面体群上强傅里叶采样的精确表达式。
• 将刚性图同构问题归约为交错群上的HSP。
• 分析并优化Regev的算法以求解poly(n)-唯一SVP，明确其预言机复杂度。

提出的方法

• 通过在简单商群上求解HSP并利用正规子群和商群上的预言机组合解，提出HSP的归纳解法。
• 通过改变基础群，构造Dedekindian群的替代阿贝尔HSP算法。
• 应用弱傅里叶采样，通过采样得到的正规子群实现自然的商群归约。
• 计算二面体群上强傅里叶采样的精确表达式，表明其与标准构造的一致性。
• 利用群论构造，将刚性图同构问题归约为交错群上的HSP。
• 分析Regev的算法以求解poly(n)-唯一SVP，并推导多项式次数与预言机复杂度之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过正规子群和商群对隐子群问题进行归纳求解？
• RQ2 如何利用Dedekindian群的结构设计替代的阿贝尔HSP算法？
• RQ3 二面体群上强傅里叶采样的精确表达式是什么？它与现有归约方法有何关联？
• RQ4 能否将刚性图同构问题归约为交错群上的HSP？
• RQ5 Regev算法中多项式次数与预言机复杂度之间的精确关系是什么？

主要发现

• 建立了HSP的归纳求解框架，其中基础情形为简单因子群，归纳步骤利用正规子群和商群上的预言机。
• 通过改变基础群，构造出Dedekindian群的替代阿贝尔HSP算法，为群结构的利用提供了新视角。
• 推导出二面体群上强傅里叶采样的精确表达式，证实了通过弱傅里叶采样实现的商群归约的自然性。
• 将刚性图同构问题归约为交错群上的HSP，表明该问题可能具有量子求解路径。
• 本文明确指出，Regev算法中poly(n)-唯一SVP的多项式次数与预言机复杂度直接相关，并提出了显式变体。
• 提出极大子群归约作为求解简单群（如交错群）上HSP的可行策略。