[论文解读] The high order block RIP condition for signal recovery

Wengu Chen, Yaling Li|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文建立了一个高阶块限制等距性（RIP）条件，该条件在噪声和非精确块稀疏条件下，保证通过混合 $l_{2}/l_{1}$ 最小化实现对块稀疏信号的稳定且鲁棒的恢复。主要贡献是基于块RIP提出了一项精确的充分条件，将经典的 $l_1$-基础恢复保证扩展至结构化稀疏性，并通过一个具体的反例证明了当该界被超越时条件的最优性。

ABSTRACT

In this paper, we consider the recovery of block sparse signals, whose nonzero entries appear in blocks (or clusters) rather than spread arbitrarily throughout the signal, from incomplete linear measurement. A high order sufficient condition based on block RIP is obtained to guarantee the stable recovery of all block sparse signals in the presence of noise, and robust recovery when signals are not exactly block sparse via mixed $l_{2}/l_{1}$ minimization. Moreover, a concrete example is established to ensure the condition is sharp. The significance of the results presented in this paper lies in the fact that recovery may be possible under more general conditions by exploiting the block structure of the sparsity pattern instead of the conventional sparsity pattern.

研究动机与目标

• 在使用混合 $l_{2}/l_{1}}$ 最小化时，为存在噪声的块稀疏信号开发一种鲁棒的恢复保证。
• 通过引入高阶块RIP条件，将经典的 $l_1$-基础恢复理论扩展至块结构稀疏模式。
• 建立一个精确的充分条件，以保证块稀疏信号的精确与稳定恢复。
• 通过一个具体的反例证明所推导条件的最优性，即当该界被超越时恢复会失败。

提出的方法

• 将基于多面体的稀疏表示技术扩展至块设置，以分析块稀疏恢复的几何结构。
• 通过块限制等距常数 $\delta_{tk|\mathcal{I}}$（$t > 1$）定义高阶块RIP条件，将标准RIP推广至块结构信号。
• 利用涉及 $l_{2,1}$-范数的变分论证，界定测量矩阵在块稀疏向量上的偏差。
• 构造一个特定信号与测量矩阵，证明当 $\delta_{tk|\mathcal{I}}$ 超过 $\sqrt{1 - 1/t} + \varepsilon$ 时恢复会失败，从而证明该条件是精确的。
• 将块RIP条件应用于推导在无噪声与有噪声环境下稳定且鲁棒恢复的充分边界。
• 依赖于块 $l_{2,1}$-范数最小化与块 $l_{2,0}$-最小化问题的凸松弛等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种高阶块RIP条件可确保通过混合 $l_{2}/l_{1}}$ 最小化实现块稀疏信号的稳定与鲁棒恢复？
• RQ2 所提出的块RIP条件如何改进压缩感知中经典的 $l_1$-基础恢复保证？
• RQ3 所推导的条件能否被证明为最优，即在某种意义上是必要的？
• RQ4 块RIP常数 $\delta_{tk|\mathcal{I}}$ 与有噪声环境下恢复性能之间存在何种关系？
• RQ5 在何种条件下混合 $l_{2}/l_{1}}$ 最小化无法恢复块稀疏信号，这种情形如何表征？

主要发现

• 本文建立了高阶块RIP条件 $\delta_{tk|\mathcal{I}} < \sqrt{1 - 1/t} + \varepsilon$，作为通过混合 $l_{2}/l_{1}}$ 最小化实现块稀疏信号稳定且鲁棒恢复的充分条件。
• 当测量矩阵满足所推导的块RIP边界时，该条件在无噪声情况下保证精确恢复，在有噪声情况下保证稳定恢复。
• 构造了一个具体的反例，证明当 $\delta_{tk|\mathcal{I}}$ 超过 $\sqrt{1 - 1/t} + \varepsilon$ 时恢复会失败，从而证明该条件是精确的。
• 当所有块大小 $d_i = 1$ 时，结果退化为Cai与Zhang [8] 所提出的经典 $l_1$-最小化恢复保证，表明与先前工作的连贯性。
• 所推导的条件通过利用稀疏性的块结构，允许在比标准RIP更一般条件下实现恢复。
• 分析表明，当 $\|\gamma_0\|_{2,1} < \|x_0\|_{2,1}$ 且 $A\gamma_0 = Ax_0$ 时，即使在噪声趋于零的极限下，混合 $l_{2}/l_{1}}$ 最小化方法仍可能无法恢复某些块稀疏信号。